Cichoń-Diagramm

In der Mengenlehre beschreibt das Cichoń-Diagram (oder Vorlage:EnS) beweisbare Größenverhältnisse von zehn Kardinalzahlen, die sich auf Teilmengen von reellen Zahlen beziehen. Alle dargestellten Kardinalzahlen liegen zwischen ${\mathrm{\aleph }}_1$, der kleinsten überabzählbaren Kardinalzahl, und $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$, der Kardinalität des Kontinuums $ℝ$. Vier dieser Kardinalzahlen beschreiben Eigenschaften der Lebesgue-Nullmengen. Vier weitere beschreiben die entsprechenden Eigenschaften der mageren Teilmengen.

Der britische Mathematiker David Fremlin benannte das Diagramm nach dem polnischen Mathematiker Jacek Cichoń.

Definitionen

Sei $X$ eine Menge und $ℐ\subseteq 𝒫(X)$ ein Ideal (das heißt: für $A,B\in ℐ,Y\subseteq X$ gilt $A\cup B\in ℐ$ und $A\cap Y\in ℐ$), das alle endlichen Teilmengen von $X$ enthält.

• Die Additivität

$\mathrm{add}ℐ=\min \left\{\left|𝒜\right|\right|𝒜\subseteq ℐ\wedge \bigcup 𝒜\notin ℐ\}$

von $ℐ$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von $ℐ$, deren Vereinigung nicht mehr in $ℐ$ liegt. Da das Ideal nach Definition unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen ist, ist $\mathrm{add}ℐ\ge {\mathrm{\aleph }}_0$. Ist $ℐ$ ein Vorlage:Nowrap (das heißt: ${\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℐ$ für $A_n\in ℐ$), so ist $\mathrm{add}ℐ\ge {\mathrm{\aleph }}_1$.

• Die Überdeckung

$\mathrm{cov}ℐ=\min \left\{\left|𝒜\right|\right|𝒜\subseteq ℐ\wedge \bigcup 𝒜=X\}$

von $ℐ$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von $ℐ$, deren Vereinigung $X$ ergibt. Wegen $X\notin ℐ$ folgt $\mathrm{add}ℐ\le \mathrm{cov}ℐ$.

• Die Uniformität

$\mathrm{non}ℐ=\min \left\{\left|A\right|\right|A\subseteq X\wedge A\notin ℐ\}$

von $ℐ$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von $X$, die nicht in $ℐ$ liegt.

• Die Konfinalität

$\mathrm{cof}ℐ=\min \left\{\left|𝒜\right|\right|𝒜\subseteq ℐ\wedge {\mathrm{\forall }}_{B\in ℐ}{\mathrm{\exists }}_{A\in 𝒜}A\supseteq B\}$

von $ℐ$ ist die Konfinalität der Halbordnung $(ℐ,\subseteq )$, also die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von $ℐ$, die kofinal in $ℐ$ ist.

Aus den Definitionen folgt unmittelbar, dass $\mathrm{non}ℐ\le \mathrm{cof}ℐ$ und $\mathrm{cov}ℐ\le \mathrm{cof}ℐ$ für jedes Ideal $ℐ$ gilt.

Daneben werden die Unbeschränktheitszahl $𝔟$ und Dominierungszahl $𝔡$ wie folgt definiert:

$𝔟=\min \left\{\left|F\right|\right|F\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\wedge {\mathrm{\forall }}_{g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}}{\mathrm{\exists }}_{f\in F}\underset{n\in \mathbb{N}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\exists }}}g(n)<f(n)\}$ und

$𝔡=\min \left\{\left|F\right|\right|F\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\wedge {\mathrm{\forall }}_{g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}}{\mathrm{\exists }}_{f\in F}\underset{n\in \mathbb{N}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\forall }}}g(n)<f(n)\}$,

wobei ${\mathrm{\exists }}^{\mathrm{\infty }}$ für es gibt unendlich viele steht und ${\mathrm{\forall }}^{\mathrm{\infty }}$ für für alle bis auf endlich viele Ausnahmen.

Das Diagramm

Schreibe $ℬ$ für das Vorlage:Nowrap der mageren reellen Mengen in der euklidischen Topologie und $ℒ$ für das Vorlage:Nowrap der Lebesgue-Nullmengen. Dann gelten folgende Ungleichungen:

		$\mathrm{cov}ℒ$	$\le$	$\mathrm{non}ℬ$	$\le$	$\mathrm{cof}ℬ$	$\le$	$\mathrm{cof}ℒ$	$\le$	$𝔠$
		$\le$		$\le$		$\le$		$\le$
				$𝔟$	$\le$	$𝔡$
				$\le$		$\le$
${\mathrm{\aleph }}_1$	$\le$	$\mathrm{add}ℒ$	$\le$	$\mathrm{add}ℬ$	$\le$	$\mathrm{cov}ℬ$	$\le$	$\mathrm{non}ℒ$

Außerdem gelten

$\mathrm{add}ℬ=\min \{\mathrm{cov}ℬ,𝔟\}$ und

$\mathrm{cof}ℬ=\max \{\mathrm{non}ℬ,𝔡\}$.

Analyse

Es hat sich herausgestellt, dass die dargestellten Ungleichungen alle in ZFC beweisbaren Ungleichungen zwischen diesen Kardinalitäten umfassen: Jede Zuweisung der zehn Kardinalitäten im Diagramm an ${\mathrm{\aleph }}_1$ und ${\mathrm{\aleph }}_2$, die keine der dargestellten Ungleichungen verletzt, wird von einem Modell von ZFC realisiert (unter der Voraussetzung, dass ZFC konsistent ist).

Die Situation ist nicht abschließend für $𝔠>{\mathrm{\aleph }}_2$ geklärt. Es ist konsistent mit ZFC, dass alle dargestellten Kardinalzahlen verschieden sind, bis auf $\mathrm{add}ℬ$ und $\mathrm{cof}ℬ$, die notwendig mit einer anderen übereinstimmen müssen. Bisher (Stand: 2019) ist es eine offene Frage, ob alle Zuweisungen der zehn Kardinalitäten im Diagramm an beliebige Kardinalzahlen, die keine der dargestellten Ungleichungen verletzen, mit ZFC konsistent sind.

Einige Ungleichungen wie etwa $\mathrm{add}ℐ\le \mathrm{cov}ℐ$ und $𝔟\le 𝔡$ folgen unmittelbar aus den Definitionen. Die Ungleichungen $\mathrm{cov}ℬ\le \mathrm{non}ℒ$ und $\mathrm{cov}ℒ\le \mathrm{non}ℬ$ sind klassische Resultate und folgen aus dem Umstand, dass das Kontinuum in eine magere Menge und eine Nullmenge zerlegt werden kann.

Aus der Kontinuumshypothese ${\mathrm{\aleph }}_1=𝔠$ folgt unmittelbar, dass alle Kardinalzahlen im Diagramm gleich sind. Aus Martins Axiom, einer Abschwächung der Kontinuumshypothese, folgt, dass alle dargestellten Kardinalzahlen ${\mathrm{\aleph }}_1$ oder $𝔠$ sind.