Charlier-Polynome

Die Charlier-Polynome (auch Poisson–Charlier-Polynome genannt) sind diskrete orthogonale Polynome. Sie wurden vom schwedischen Astronom Carl Charlier 1906 eingeführt. Sie sind orthogonal bezüglich der Poisson-Verteilung.

Definition

Die Charlier-Polynome $C_n(x;\mu )$ lassen sich mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ${}_2{F}_0(a,b;-;z)$ in der Form

$C_n(x;\mu ):={}_2{F}_0\left(\begin{array}{c}-n,-x\\ -\end{array}\right|-\frac{1}{\mu })$

definieren. Für $\mu >0$ sind sie orthogonal auf ${\mathbb{N}}_0$ bezüglich der Gewichtsfunktion

$w(x;\mu )=\frac{{\mu }^x}{x!},x=0,1,2,\dots ,$

das heißt, es gilt entsprechend mit dem Skalarprodukt

$⟨C_n,C_m⟩:=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(x;\mu )C_m(x;\mu )w(x;\mu )=\frac{n!e^{\mu }}{{\mu }^n}{\delta }_{m,n},$

wobei ${\delta }_{m,n}$ das Kronecker-Delta bezeichnet.

Eigenschaften

Drei-Term-Rekursion

Die Charlier-Polynome genügen folgender Drei-Term-Rekursion

$C_{n+1}(x;\mu )={\mu }^{-1}x{C}_n(x-1;\mu )-C_n(x;\mu )$

mit dem Startglied $C_0(x;\mu )=1.$

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion ist

$F(x,t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{C}_n(x;\mu )t^n=e^{-t}{\left(\frac{\mu +t}{\mu }\right)}^x.$

Beziehung zu den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen

Es gilt

$C_n(x;\mu )=(-1{)}^{n}n!L_n^{(-1-x)}(-\frac{1}{\mu }),$

wobei $L_n^{(\alpha )}(x)$ die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind.

Beziehung zu den Meixner-Polynomen

Es gilt

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\beta \to \mathrm{\infty }}{M}_n(x;\beta ,\mu /(\beta +\mu ))=C_n(x;\mu ),$

wobei $M_n(x;\beta ,c)$ die Meixner-Polynome genannt werden.

Literatur

• Vorlage:Literatur

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:MathWorld