Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Markow-Ketten

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes $y$ nach $m+n$ Schritten, beginnend im Zustand $x$, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation $z$ dar. Formal bedeutet dies:

Sei $(X_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix $\mathrm{\Pi }$ und Zustandsraum $\mathrm{E}$.

Dann gilt für alle $x,y\in \mathrm{E}$

$P(X_{m+n}=y\mid X_0=x)=\sum _{z\in \mathrm{E}}P(X_{m+n}=y\mid X_m=z)P(X_m=z\mid X_0=x)$.

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix $\mathrm{\Pi }=(\mathrm{\Pi }(x,y){)}_{x,y\in \mathrm{E}}$ ergibt sich

$\begin{array}{cc}P(X_{m+n}=y\mid X_0=x)& \stackrel{(*)}{=}{\mathrm{\Pi }}^{n+m}(x,y)\\ & =\sum _{z\in \mathrm{E}}{\mathrm{\Pi }}^m(x,z){\mathrm{\Pi }}^n(z,y)\\ & \stackrel{(*)}{=}\sum _{z\in \mathrm{E}}P(X_{m+n}=y\mid X_m=z)P(X_m=z\mid X_0=x),\end{array}$

wobei bei $(\ast )$ ausgenutzt wurde, dass $P(X_{m+n}=y\mid X_n=x)={\mathrm{\Pi }}^m(x,y)$ für alle $m,n\in {\mathbb{N}}_0,x,y\in \mathrm{E}$ mit $P(X_n=x)>0$ gilt.

Markow-Prozesse

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe $(K(t){)}_{t\ge 0}$ von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als

$\mathrm{\forall }s,t\in {ℝ}_{\ge 0}:K(s+t)=K(s)K(t),$

wobei $K(s)K(t)$ die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},t_1,\dots ,t_n\in {ℝ}_{\ge 0}K\left(\sum _{i=1}^n{t}_i\right)=\prod _{i=1}^{n}K(t_i).$