Übergangshalbgruppe

In der Theorie der stochastischen Prozesse wird das zeitliche Veränderungsverhalten von Markow-Prozessen durch Abbildungen $P^t$ (mit Zeitparameter $t\ge 0$) beschrieben, die eine sogenannte Übergangshalbgruppe bilden, genauer einen Halbgruppenhomomorphismus. Die Veränderung im Zeitintervall $[0,s+t]$ lässt sich zerlegen in die Veränderung während $[0,s]$ und die Veränderung während $[s,s+t].$ ($\circ$ bezeichne die Hintereinanderausführung.)

$\mathrm{\forall }s,t\in {ℝ}_{\ge 0}:P^{[0,s]}\circ P^{[s,s+t]}=P^{[0,s+t]}$.

Bei zeitlich homogenen Prozessen ist die Veränderung $P^{[s,s+t]}$ unabhängig von $s$ und hängt nur von der Länge $t$ des Intervalls ab. In der Schreibweise $P^t:=P^{[0,t]}(=P^{[s,s+t]})$ hat $(P_t)$ folgende Eigenschaft:

$\mathrm{\forall }s,t\in {ℝ}_{\ge 0}:P^t\circ P^s=P^{s+t}$.

Die Komposition von solchen die Veränderung während der Zeit $s$ beschreibenden Abbildungen $P^s$ ist also verträglich mit der Addition des Zeitparameters. Mit anderen Worten, $P$ ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen der von Zeitparameter und der Additionsoperation gebildeten Halbgruppe $([0,\mathrm{\infty }),+)$ und der Halbgruppe $((P^s{)}_{s\ge 0},\circ )$ (Transformationshalbgruppe).

In abkürzender Sprechweise spricht man schlicht von einer Halbgruppe und bezeichnet als Übergangshalbgruppe die von den Übergangskernen eines zeithomogenen Markow-Prozesses gebildete. Die Verträglichkeit der Addition im Zeitparameter und die Hintereinanderausführung von Kernen wird durch die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen beschrieben. Die Definition der Übergangshalbgruppe macht es auf diese Weise möglich, Erkenntnisse der Halbgruppentheorie auf Markow-Prozesse anzuwenden.

Übergangshalbgruppen definieren einen Markow-Operator.

Mathematische Definition (in stetiger Zeit)

Sei $(M_t{)}_{t\ge 0}$ ein zeitlich homogener Markow-Prozess in stetiger Zeit auf einem Zustandsraum $(E,ℰ)$. Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum sei $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$ und $𝔼$ bezeichne den Erwartungswert bzgl. $\mathbb{P}$.

Für alle $x\in E$ sei ${\mathbb{P}}_x(\cdot ):=\mathbb{P}(\cdot \mid M_0=x)$ und entsprechend ${𝔼}_x(\cdot ):=𝔼(\cdot \mid M_0=x)$ definiert.

Seien $(P^t{)}_{t\in {ℝ}_{\ge 0}}$ die Übergangskerne. Dann gilt

$\mathrm{\forall }t\in {ℝ}_{\ge 0}\mathrm{\forall }x\in E\mathrm{\forall }A\in ℰ:P^t(x,A)={\mathbb{P}}_x(M_t\in A)$

Mit der Markov-Eigenschaft gilt dann die nun folgende Chapman-Kolmogorow-Gleichung

$\mathrm{\forall }s,t\in {ℝ}_{\ge 0}\mathrm{\forall }x\in E\mathrm{\forall }A\in ℰ:P^{t+s}(x,A)={𝔼}_x\mathbb{P}(M_{s+t}\in A\mid {ℱ}_s)={𝔼}_x{P}^t(M_s,A)=\int P^t(y,A)P^s(x,dy),$

die man in Operator-Notation kurz zusammenfasst als

$\mathrm{\forall }s,t\in {ℝ}_{\ge 0}:P^{t+s}=P^t{P}^s.$

Die $(P^t{)}_{t\in {ℝ}_{\ge 0}}$ bilden somit eine Halbgruppe, die als Übergangshalbgruppe bezeichnet wird. Über die topologischen Eigenschaften von $(P^t{)}_{t\ge 0}$ ist damit noch nichts gesagt, deswegen werden meist zusätzliche Forderungen an den Markow-Prozess gemacht, so dass $(P^t{)}_{t\ge 0}$ in gewisser Hinsicht stetig ist – zum Beispiel im Falle der Feller-Prozesse, wobei $(P^t{)}_{t\ge 0}$ eine stark stetige Halbgruppe auf $C_0$ darstellt.

Quellen

• Sören Asmussen: Applied Probability and Queues. 2. Auflage, Springer-Verlag, New-York 2003, ISBN 0387002111