Cartan-Projektion

In der Mathematik ist die Cartan-Projektion ein Hilfsmittel in der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Definition

Es sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $𝔞\subset 𝔤$ eine Cartan-Unteralgebra. Zu einem Wurzelsystem $\mathrm{\Sigma }$ sei ${𝔞}^{+}\subset 𝔞$ die positive Weyl-Kammer und $A^{+}=\exp ({𝔞}^{+})$.

Dann gibt es eine eindeutige maximal kompakte Untergruppe $K\subset G$ mit

$G=K{A}^{+}K$

und eine eindeutige Abbildung

$\mu :G\to A^{+}$,

so dass sich jedes $g\in G$ auf eindeutige Weise als $g=k_1\mu (g)k_2$ mit (von $g$ abhängenden) $k_1,k_2\in K$ zerlegen lässt.

Die Abbildung $\mu :G\to A^{+}$ heißt Cartan-Projektion. Es gilt $\mu (g)=KgK\cap A^{+}$.

Beispiel

Es sei

$G=SL(n,ℝ),K=SO(n),A^{+}=\{\mathrm{diag}({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)\in G:{\sigma }_1\ge \dots \ge {\sigma }_n>0\}$.

Dann ist die Cartan-Projektion gegeben durch

$\mu (g)=\mathrm{diag}({\sigma }_1(g),\dots ,{\sigma }_n(g))$,

wobei ${\sigma }_i(g{)}^2$ der $i$-te Eigenwert von $g^{t}g$ ist.

Jordan-Projektion

Eine andere stetige Projektion $\lambda :G\to \stackrel{+}{\stackrel{‾}{𝔞}}$ kann man durch die Jordan-Zerlegung definieren, sie hängt mit der Cartan-Projektion über

$\lambda (g)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\exp }^{-1}(\mu (g^n))}{n}$

zusammen. Im Fall $G=SL(n,ℝ)$ erhält man die Abbildung

$\lambda (g)=(\log \mid {\lambda }_1(g)\mid ,\log \mid {\lambda }_2(g)\mid ,\dots ,\log \mid {\lambda }_n(g)\mid )$,

wobei ${\lambda }_1(g),\dots ,{\lambda }_n(g)$ die Eigenwerte (evtl. mit Wiederholungen) in aufsteigender Reihenfolge sind.

Literatur

• Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7 (Kapitel 9)
• Benoist, Yves: Actions propres sur les espaces homogènes réductifs. (Kapitel 3) pdf

Weblinks

• Witte Morris, David: Cartan-decomposition subgroups