Cartan-Matrix

Eine Cartan-Matrix, benannt nach Élie Cartan, ist eine Matrix, die in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren zur Klassifikation dieser Algebren verwendet wird.

Cartan-Matrix einer Lie-Algebra

Zur Definition der Cartan-Matrizen werden einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der Lie-Algebren benötigt, die hier kurz zusammengestellt werden. Es sei $L$ eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen $ℂ$. $H$ sei eine darin enthaltene Cartan-Unteralgebra. Für $x\in L$ sei

$\mathrm{a}\mathrm{d}x:L\to L,y\mapsto [x,y]$

die sogenannte Adjunktion mit $x$. In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man, dass durch $⟨x,y⟩:=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}((\mathrm{a}\mathrm{d}x)(\mathrm{a}\mathrm{d}y))$ eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform definiert ist, die sogenannte Killing-Form. Deren Einschränkung auf $H$ ist ebenfalls nicht-ausgeartet, das heißt jedes Element des Dualraums $\alpha \in H^{*}$ ist von der Form

${\alpha }_x:H\to ℂ,y\mapsto ⟨x,y⟩$

für ein eindeutig bestimmtes $x\in H$. Mittels des Vektorraumisomorphismus $\iota :H\to H^{*},x\mapsto {\alpha }_x$ überträgt man die Killing-Form zu einer nicht-ausgearteten Bilinearform auf $H^{*}$, das heißt man setzt $⟨\alpha ,\beta ⟩:=⟨{\iota }^{-1}(\alpha ),{\iota }^{-1}(\beta )⟩$.

Weiter zeigt man, dass es eine endliche Menge $\mathrm{\Phi }\subset H^{*}\setminus \{0\}$ linearer Funktionale $\alpha :H\to ℂ$ gibt, so dass

$L=H\oplus \sum _{\alpha \in \mathrm{\Phi }}{L}_{\alpha }$

wobei

$L_{\alpha }:=\{x\in L|\mathrm{\forall }h\in H:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:(\mathrm{a}\mathrm{d}h-\alpha (h){\mathrm{i}\mathrm{d}}_H{)}^{n}x=0\}$

und $L_{\alpha }$ nicht der Nullraum ist. Aus dieser Menge $\mathrm{\Phi }$ der sogenannten Wurzeln kann man eine Teilmenge ${\mathrm{\Phi }}_0\subset \mathrm{\Phi }$ auswählen, so dass jedes $\alpha \in \mathrm{\Phi }$ eindeutige Linearkombination der Elemente aus ${\mathrm{\Phi }}_0$ ist, wobei die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ sind. ${\mathrm{\Phi }}_0=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l\}$ heißt eine Menge von Fundamentalwurzeln, sie ist eine Vektorraumbasis der Cartan-Unteralgebra $H$.

Die Cartan-Matrix der Lie-Algebra ist definiert als die Matrix mit Koeffizienten $A_{i,j}:=2\frac{⟨{\alpha }_i,{\alpha }_j⟩}{⟨{\alpha }_i,{\alpha }_i⟩},i,j=1,\dots l$.

Zwei Cartan-Matrizen heißen äquivalent, wenn sie durch Änderung der Anordnung der Basis auseinander hervorgehen. Da die Basisvektoren ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_l$ beliebig permutiert werden können, kann eine Cartan-Matrix natürlich nur bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt sein. Man kann zeigen, dass die Äquivalenzklasse der Cartan-Matrix nicht von den anderen Wahlmöglichkeiten in obiger Konstruktion abhängt, das heißt nicht von der Wahl der Cartan-Unteralgebra und auch nicht von der Wahl der Fundamentalwurzeln ${\mathrm{\Phi }}_0\subset \mathrm{\Phi }$.

Beispiele

• $(2)$ ist die einzige $1\times 1$-Matrix, die eine Cartan-Matrix ist.
• $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ ist Cartan-Matrix der dreidimensionalen, speziellen linearen Lie-Algebra.

Da wir unten eine vollständige Klassifikation aller Cartan-Matrizen angeben, erübrigen sich an dieser Stelle weitere Beispiele.

Eigenschaften

Sei $A=(A_{i,j}{)}_{i,j}$ eine Cartan-Matrix. Dann gilt:

• $A_{i,i}=2$   für alle   $i$.
• $A_{i,j}\in \{0,-1,-2,-3\}$   für alle   $i=j$
• Wenn $A_{i,j}\in \{-2,-3\}$   so ist   $A_{j,i}=-1$
• $A_{i,j}=0$   genau dann, wenn   $A_{j,i}=0$
• $A$ ist regulär, die inverse Matrix hat nur nicht-negative rationale Koeffizienten.
• Es gibt eine Diagonalmatrix $D$ und eine symmetrische Matrix $B$ mit $A=DB$.

Zerlegbarkeit der Cartan-Matrizen

Ist die Cartan-Matrix einer Lie-Algebra $L$ äquivalent zu einer Matrix der Form

$\left(\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right)$

mit Untermatrizen $A_1$ und $A_2$, so heißt die Cartan-Matrix zerlegbar. Man kann zeigen, dass $A_1$ und $A_2$ ihrerseits wieder Cartan-Matrizen sind. Dieser Zerlegung entspricht eine direkte Summenzerlegung

$L=L_1\oplus L_2$

in Ideale $L_1$ und $L_2$, dabei ist $A_i$ Cartan-Matrix von $L_i$. Es genügt daher alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen zu kennen, diese gehören dann zu einfachen Lie-Algebren.

Bedeutung

Die Zuordnung

Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren   $\mapsto$   Äquivalenzklassen von Cartan-Matrizen

ist eine vollständige Isomorphie-Invariante, d. h.

• Isomorphe endlichdimensionale einfache Lie-Algebren haben äquivalente Cartan-Matrizen.
• Endlichdimensionale einfache Lie-Algebren mit äquivalenten Cartan-Matrizen sind isomorph.

Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen

Man kann alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen (bis auf Äquivalenz) angeben. Die Benennung in der folgenden Aufzählung folgt der üblichen Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren.

$A_n=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& -1& & & & & & & \\ -1& 2& -1& & & & & & \\ & -1& 2& -1& & & & & \\ & & -1& \cdot & \cdot & & & & \\ & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\ & & & & \cdot & \cdot & -1& & \\ & & & & & -1& 2& -1& \\ & & & & & & -1& 2& -1\\ & & & & & & & -1& 2\end{array}\right)n\ge 1$

$B_n=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& -1& & & & & & & \\ -1& 2& -1& & & & & & \\ & -1& 2& -1& & & & & \\ & & -1& \cdot & \cdot & & & & \\ & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\ & & & & \cdot & \cdot & -1& & \\ & & & & & -1& 2& -1& \\ & & & & & & -1& 2& -1\\ & & & & & & & -2& 2\end{array}\right)n\ge 2$

$C_n=\left(\begin{array}{ccccccccc}2& -1& & & & & & & \\ -1& 2& -1& & & & & & \\ & -1& 2& -1& & & & & \\ & & -1& \cdot & \cdot & & & & \\ & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\ & & & & \cdot & \cdot & -1& & \\ & & & & & -1& 2& -1& \\ & & & & & & -1& 2& -2\\ & & & & & & & -1& 2\end{array}\right)n\ge 3$

$D_n=\left(\begin{array}{cccccccccc}2& -1& & & & & & & & \\ -1& 2& -1& & & & & & & \\ & -1& 2& -1& & & & & & \\ & & -1& \cdot & \cdot & & & & & \\ & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & & \\ & & & & \cdot & \cdot & -1& & & \\ & & & & & -1& 2& -1& & \\ & & & & & & -1& 2& -1& -1\\ & & & & & & & -1& 2& \\ & & & & & & & -1& & 2\end{array}\right)n\ge 4$

$E_6=\left(\begin{array}{cccccc}2& -1& & & & \\ -1& 2& -1& & & \\ & -1& 2& -1& -1& \\ & & -1& 2& & \\ & & -1& & 2& -1\\ & & & & -1& 2\end{array}\right)$

$E_7=\left(\begin{array}{ccccccc}2& -1& & & & & \\ -1& 2& -1& & & & \\ & -1& 2& -1& & & \\ & & -1& 2& -1& -1& \\ & & & -1& 2& & \\ & & & -1& & 2& -1\\ & & & & & -1& 2\end{array}\right)$

$E_8=\left(\begin{array}{cccccccc}2& -1& & & & & & \\ -1& 2& -1& & & & & \\ & -1& 2& -1& & & & \\ & & -1& 2& -1& & & \\ & & & -1& 2& -1& -1& \\ & & & & -1& 2& & \\ & & & & -1& & 2& -1\\ & & & & & & -1& 2\end{array}\right)$

$F_4=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& & \\ -1& 2& -1& \\ & -2& 2& -1\\ & & -1& 2\end{array}\right)$

$G_2=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$

Existenzsatz

In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man mit einigem Aufwand, dass jede endlichdimensionale einfache Lie-Algebra eine Cartan-Matrix aus obiger Liste haben muss. Wesentlich schwieriger ist der Beweis, dass es zu jeder dieser Cartan-Matrizen $A=(A_{i,j}{)}_{i,j}$ tatsächlich eine passende endlichdimensionale einfache Lie-Algebra gibt. Dass das in der Tat so ist, besagt der sogenannte Existenzsatz. Natürlich könnte man zu jeder der angegebenen Matrizen eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra angeben und nachrechnen, dass deren Cartan-Matrix die vorgegebene Matrix ist. In einer allgemeinen Konstruktion betrachtet man die von Erzeugern $\{e_1,\dots ,e_n,h_1,\dots ,h_n,f_1,\dots ,f_n\}$ frei erzeugte Lie-Algebra mit Relationen

$[h_i,h_j]$

$[h_i,e_j]-A_{i,j}{e}_j$

$[h_i,f_j]+A_{i,j}{f}_j$

$[e_i,f_i]-h_i$

$[e_i,f_j]$   für   $i=j$

$[e_i,[e_i[\dots [e_i,e_j]]]]$   mit $i=j$ und $1-A_{i,j}$ Vorkommen von $e_i$

$[f_i,[f_i[\dots [f_i,f_j]]]]$   mit $i=j$ und $1-A_{i,j}$ Vorkommen von $f_i$.

Von dieser Lie-Algebra kann man zeigen, dass es sich um eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra mit passender Cartan-Matrix handelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt im Nachweis der endlichen Dimension. Das ist der auf Jean-Pierre Serre zurückgehende Beweis des Existenzsatzes. Man beachte, dass diese allgemeine Konstruktion nur von den Daten der vorgelegten Cartan-Matrix abhängt. Das zeigt noch einmal, dass die Kenntnis der Cartan-Matrix die endlichdimensionale einfache Lie-Algebra bestimmt.

Beziehung zu Dynkin-Diagrammen

Die zusammenhängenden Dynkin-Diagramme

Die Cartan-Matrizen stehen in enger, wechselseitiger Beziehung zu den Dynkin-Diagrammen. Zu jeder Cartan-Matrix $A=(A_{i,j}{)}_{i,j}$ mit unterem Index $n$ konstruiert man einen Graphen, den man dann das zugehörige Dynkin-Diagramm nennt, mit $n$ Knoten $\{x_1,\dots ,x_n\}$ und verbindet je zwei verschiedene Knoten $x_i$ und $x_j$ durch $A_{i,j}{A}_{j,i}$ Kanten. Sind $x_i$ und $x_j$ durch mehr als eine Kante verbunden, so setzt man noch einen Winkel > durch diese Kanten, wobei das spitze Ende genau dann zu $x_j$ zeigt, wenn $|A_{j,i}|>|A_{i,j}|$. Aus dem Dynkin-Diagramm kann man die Cartan-Matrix zurückgewinnen. Die Unzerlegbarkeit auf der Seite der Cartan-Matrizen korrespondiert genau zum Zusammenhang der Dynkin-Diagramme. In nebenstehender Zeichnung sind alle Dynkin-Diagramme zu den unzerlegbaren Cartan-Matrizen $A_n,B_n,C_n,D_n,E_6,E_7,E_8,F_4,G_2$ angegeben.