Carré-Du-Champ-Operator

Der Carré-Du-Champ-Operator (wörtlich Quadrat-des-Feldes-Operator) ist ein bilinearer, symmetrischer Operator aus der Analysis und der Stochastik. Der Carré-Du-Champ-Operator misst, wie weit ein Operator davon entfernt ist, eine Derivation zu sein.

Der Operator wurde erstmals 1969 von Hiroshi Kunita beschrieben und 1976 unabhängig von Jean-Pierre Roth in seiner Doktorarbeit wiederentdeckt.

Der Name "carré du champ" (Quadrat des (Vektor-)feldes) stammt aus der Elektrostatik.

Carré-Du-Champ-Operator einer Markow-Halbgruppe

Gegeben sei ein σ-endlicher Maßraum $(X,ℰ,\mu )$ und eine Markow-Halbgruppe $\{P_t{\}}_{t\ge 0}$ von nicht-negativen Operatoren auf $L^2(X,\mu )$.

Weiter sei $A$ der infinitesimale Generator von $\{P_t{\}}_{t\ge 0}$ und $𝒜$ eine Algebra der Funktionen in der Domäne $D(A)$, das bedeutet ein Vektorraum der geschlossen unter Multiplikation ist. Es gilt also, wenn $f,g\in 𝒜$, dann auch $fg\in 𝒜$.

Carré-Du-Champ-Operator

Der Carré-Du-Champ-Operator der markowschen Halbgruppe $\{P_t{\}}_{t\ge 0}$ ist der Operator $\mathrm{\Gamma }:𝒜\times 𝒜\to ℝ$ definiert (nach P. A. Meyer) durch

$\mathrm{\Gamma }(f,g)=\frac{1}{2}(A(fg)-fA(g)-gA(f))$

für alle $f,g\in 𝒜$.

Erläuterungen

Aus der Definition folgt

$\mathrm{\Gamma }(f,g)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to 0}\frac{1}{2t}(P_t(fg)-P_{t}f{P}_{t}g).$

Positivität

Für $f\in 𝒜$ folgt aus $P_t(f^2)\ge (P_{t}f{)}^2$ somit $A(f^2)\ge 2fAf$ und

$\mathrm{\Gamma }(f):=\mathrm{\Gamma }(f,f)\ge 0,\mathrm{\forall }f\in 𝒜.$

Domäne der Markow-Halbgruppe

Die Domäne ist definiert als

$𝒟(A):=\{f\in L^2(X,\mu );\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\downarrow 0}\frac{P_{t}f-f}{t}\text{ existiert und ist in }{L}^2(X,\mu )\}.$

Carré-Du-Champ-Operator nach Roth

Sei $X$ ein lokalkompakter Raum und $A$ ein linearer Operator mit Domäne $D(A)\subset C_0(X)$ darauf.

Positives Maximumprinzip

$A$ erfüllt das positive Maximumprinzip, wenn für alle $f\in D(A)$ und $\mathrm{\forall }{x}_0\in X$ mit

$f(x_0)=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{y\in X}f(y)\ge 0$

gilt, dass

$Af(x_0)\le 0.$

Carré-Du-Champ-Operator

Sei $A$ nun ein Operator, der das positive Maximumprinzip erfüllt und dessen Domäne $D(A)$ dicht in $C_0(X)$ liegt. Außerdem sei $D(A)$ stabil gegenüber der Multiplikation, d. h.

$f,g\in D(A)⟹fg\in D(A).$

Dann ist der Carré-Du-Champ-Operator $\mathrm{\Gamma }:D(A)\times D(A)\to C_0(X)$, der symmetrische bilineare Operator definiert durch

$\mathrm{\Gamma }(f,g)=A(fg)-fA(g)-gA(f)\mathrm{\forall }f,g\in D(A).$

Literatur

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