Carol-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Carol-Zahl eine ganze Zahl der Form $(2^{n} - 1)^{2} - 2$ oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form $4^{n} - 2^{n + 1} - 1$ mit $n \geq 1$ . Zahlen dieser Form wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einer Freundin, Carol G. Kimon, benannt hat.^[1]^[2]

Beispiele

Die ersten Carol-Zahlen sind die folgenden:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, … (Vorlage:OEIS)

Die ersten primen Carol-Zahlen sind die folgenden:

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, … (Vorlage:OEIS)

Man nennt sie Carol-Primzahlen.

Die siebente Carol-Zahl $16127$ ist gleichzeitig die fünfte Carol-Primzahl und ist auch eine Primzahl, wenn man ihre Stellen umdreht (also $72161$ ).

Solche Zahlen nennt man Carol-Mirpzahlen.

Man kennt momentan nur zwei Carol-Mirpzahlen:

16127, 16769023

Die größte bekannte Carol-Primzahl ist $(2^{695631} - 1)^{2} - 2$ und hat $418812$ Stellen.^[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch am 16. Juli 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 44. Carol-Primzahl.^[4]

Eigenschaften

Jede Carol-Zahl der Form $(2^{n} - 1)^{2} - 2$ mit $n > 2$ hat eine binäre Darstellung, welche $2 n$ Stellen lang ist, mit $n - 2$ Einsern beginnt, eine einzelne Null in der Mitte hat und mit weiteren $n + 1$ Einsern endet. Mit anderen Worten:

(2^{n} - 1)^{2} - 2 = \sum_{\binom{i = 1}{i = n + 2}}^{2 n} 2^{i - 1}

Beispiel:

223 = (2^{4} - 1)^{2} - 2 = \underline{1} \cdot 2^{7} + \underline{1} \cdot 2^{6} + \underline{0} \cdot 2^{5} + \underline{1} \cdot 2^{4} + \underline{1} \cdot 2^{3} + \underline{1} \cdot 2^{2} + \underline{1} \cdot 2^{1} + \underline{1} \cdot 2^{0} = 1101111 1_{2}

Die Differenz zwischen der $2 n$ -ten Mersenne-Zahl (also $2^{2 n} - 1$ ) und der $n$ -ten Carol-Zahl beträgt $2^{n + 1}$ .

Somit könnte man die Carol-Zahlen anders definieren, nämlich als

(2^{2 n} - 1) - 2^{n + 1}

.

Die Differenz zwischen der $n$ -ten Kynea-Zahl $(2^{n} + 1)^{2} - 2$ und der $n$ -ten Carol-Zahl beträgt $2^{n + 2}$ .
Wenn man mit der Carol-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Carol-Zahl ein Vielfaches von $7$ .

Beispiel:

65023 = (2^{8} - 1)^{2} - 2

ist die sechste Carol-Zahl nach

7

und tatsächlich ist

65023 = 9289 \cdot 7

ein Vielfaches von

7

.

Eine Carol-Zahl $(2^{n} - 1)^{2} - 2$ mit $n = 3 k + 2$ für $k > 0$ kann keine Primzahl sein.

(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

Verallgemeinerungen

Eine verallgemeinerte Carol-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form $(b^{n} - 1)^{2} - 2$ mit $n \geq 1$ und einer Basis $b \geq 2$ .

Eigenschaften

Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis $b \geq 4$ kann nur dann eine Primzahl sein, wenn $b$ eine gerade Zahl ist.

(Wenn

b

eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz

b^{n}

ungerade. Zieht man

1

ab, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man

2

ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim (für

b \geq 4

). Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)

Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit einer ungeraden Basis $b$ ist immer eine gerade Zahl.
Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis $b^{n}$ ist auch eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis $b$ .
Die kleinsten $n \geq 1$ , sodass $((2 k)^{n} - 1)^{2} - 2$ prim ist (Basis $b = 2 k$ ), sind die folgenden (für $k = 1, 2, 3, 4, \dots, 100$ ):

2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …

Beispiel:

Für

n = 6

kann man der obigen Liste an der 6. Stelle die Zahl

n = 3

entnehmen.

Tatsächlich ist

((2 \cdot 3)^{6} - 1)^{2} - 2 = 2176689023 \in ℙ

eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Carol-Primzahlen mit Basis $b$ entnehmen kann:^[5]

$b$	Form	Potenzen $n \geq 1$ , sodass verallgemeinerte Carol-Zahlen mit Basis $b$ , also der Form $(b^{n} - 1)^{2} - 2$ prim sind	OEIS-Folge
$2$	$(2^{n} - 1)^{2} - 2$	2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, …	(Vorlage:OEIS)
$3$	$(3^{n} - 1)^{2} - 2$	1 (führt zur geraden Primzahl $p = 2$ ; mehr Potenzen $n$ existieren nicht)
$4$	$(4^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, …
$6$	$(6^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, …	(Vorlage:OEIS)
$8$	$(8^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, …
$10$	$(1 0^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, …	(Vorlage:OEIS)
$12$	$(1 2^{n} - 1)^{2} - 2$	3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, …
$14$	$(1 4^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, …	(Vorlage:OEIS)
$16$	$(1 6^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, …
$18$	$(1 8^{n} - 1)^{2} - 2$	2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, 69354, …
$20$	$(2 0^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, …
$22$	$(2 2^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, 92539, …	(Vorlage:OEIS)
$24$	$(2 4^{n} - 1)^{2} - 2$	2, 27, 92, 4950, 20047, 46309, 55716, …
$26$	$(2 6^{n} - 1)^{2} - 2$	159, 879, 4744, 5602, 74387, …
$28$	$(2 8^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, …
$30$	$(3 0^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, …
$32$	$(3 2^{n} - 1)^{2} - 2$	2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, …
$34$	$(3 4^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 4, 258, …
$36$	$(3 6^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, …
$38$	$(3 8^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 2, 13, 560, 28933, …
$40$	$(4 0^{n} - 1)^{2} - 2$	4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, …
$42$	$(4 2^{n} - 1)^{2} - 2$	3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, …
$44$	$(4 4^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, …
$46$	$(4 6^{n} - 1)^{2} - 2$	12, 269, 1304, 5172, …
$48$	$(4 8^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, …
$50$	$(5 0^{n} - 1)^{2} - 2$	1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, …

Die größte bekannte verallgemeinerte Carol-Primzahl ist $(29 0^{124116} - 1)^{2} - 2$ und hat $611246$ Stellen.^[6] Sie wurde von Karsten Bonath am 1. März 2019 gefunden. Es ist die dritte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.^[4]

Weitere Verallgemeinerungen

Eine positive ganze Zahl der Form $(2^{n} - 1)^{3} + 2$ nennt man Noddy-Zahl (Noddy number).^[7]

Die kleinsten primen Noddy-Zahlen sind die folgenden:^[7]

0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … (Vorlage:OEIS)

Siehe auch

Kynea-Zahl

Weblinks

Vorlage:MathWorld
Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search.
Carol- und Kynea-Primzahlen

Einzelnachweise

↑ Cletus Emmanuel auf Prime Pages
↑ Message to Yahoo primenumbers group von Cletus Emmanuel
↑ (2⁶⁹⁵⁶³¹-1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
↑ ^4,0 ^4,1 Carol and Kynea Prime Search von Mark Rodenkirch, Gary Barnes und Karsten Bonath
↑ Prime Wiki: Carol-Kynea table
↑ (290¹²⁴¹¹⁶-1)²-2 auf The Lagest Known Primes!
↑ ^7,0 ^7,1 Carol- und Kynea-Primzahlen

Vorlage:Navigationsleiste Primzahlklassen

[1] Cletus Emmanuel auf Prime Pages

[2] Message to Yahoo primenumbers group von Cletus Emmanuel

[3] (2⁶⁹⁵⁶³¹-1)²-2 auf The Lagest Known Primes!

[Rekorde-4] 4,0 ^4,1 Carol and Kynea Prime Search von Mark Rodenkirch, Gary Barnes und Karsten Bonath

[5] Prime Wiki: Carol-Kynea table

[6] (290¹²⁴¹¹⁶-1)²-2 auf The Lagest Known Primes!

[Noddy-7] 7,0 ^7,1 Carol- und Kynea-Primzahlen

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Carol-Zahl

Inhaltsverzeichnis

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