Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum, sei $C_n(X)$ die $n$-te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard-$n$-Simplexes ${\mathrm{\Delta }}^n$ nach $X$ und $C^n(X)=Hom(C_n(X),\mathbb{Z})$. Man bezeichne mit ${\iota }_{0\dots p}:{\mathrm{\Delta }}^p\to {\mathrm{\Delta }}^{p+q}$ beziehungsweise ${\iota }_{p\dots p+q}:{\mathrm{\Delta }}^q\to {\mathrm{\Delta }}^{p+q}$ die Inklusionen des Standard-$p$- beziehungsweise $q$-Simplexes als „vordere $p$-dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere $q$-dimensionale Seite“ in den Standard-$(p+q)$-Simplex.

Für $\psi \in C^q(X)$ und einen singulären Simplex $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^p\to X$ (mit $p\ge q$) definiert man

$\sigma ⌢\psi :=(-1{)}^{pq}\psi (\sigma \circ {\iota }_{0\dots q})\sigma \circ {\iota }_{q\dots p}$

und setzt dies linear zu einer Abbildung

$C^q(X)\times C_p(X)\to C_{p-q}(X)$

fort.

Allgemeiner sei $R$ ein Ring und sei $C_n(X;R)=C_n(X){\otimes }_{\mathbb{Z}}R,C^n(X)=Hom(C_n(X),R)$. Dann erhält man eine Abbildung

$C^q(X;R)\times C_p(X;R)\to C_{p-q}(X;R)$.

Aus der Relation

$\partial (\sigma ⌢\psi )=(-1{)}^q(\partial \sigma ⌢\psi -\sigma ⌢\delta \psi )$

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

$H^q(X;R)\times H_p(X;R)\to H_{p-q}(X;R)$

definiert.

Eigenschaften

Für stetige Abbildungen $f:X\to Y$ gilt

$f_{*}(c)⌢\psi =f_{*}(c⌢f^{*}(\psi ))$

mit $c\in C_p(X;R)$, $\psi \in C^q(Y;R)$.

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

$\psi (c⌢\phi )=(\phi ⌣\psi )(c)$

für $c\in C_p(X;R)$, $\psi \in C^q(X;R)$, $\phi \in C^{p-q}(X;R).$

Anwendung: Poincaré-Dualität

Sei $M$ eine geschlossene, orientierbare $n$-Mannigfaltigkeit und

$\left[M\right]\in H_n(M;\mathbb{Z})$

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit $\left[M\right]$ einen Isomorphismus

$H^k(M;\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M;\mathbb{Z})$

für $k=0,\dots ,n$.

Literatur

• Glen Bredon: Topology and geometry. Corrected third printing of the 1993 original. Graduate Texts in Mathematics, 139. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0.
• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X