Cantorsches Produkt

Als cantorsches Produkt bezeichnet man in der Analysis ein unendliches Produkt, dessen Glieder aus rationalen Zahlen der Form $1+\frac{1}{q}$ bestehen, wobei die darin auftretenden Nenner stets natürliche Zahlen sind und zudem immer so beschaffen, dass der Nenner $q_{n+1}$ des $n+1$-ten Gliedes $(n\in \mathbb{N})$ stets mindestens so groß ist wie das Quadrat des zum vorangehenden $n$-ten Glied gehörigen Nenners $q_n$

Die cantorschen Produkte wurden von Georg Cantor in einer Arbeit aus dem Jahre 1869 eingeführt. Wie Cantor darin zeigte, lässt sich jede beliebige reelle Zahl ${\alpha }_0>1$ in Form eines cantorschen Produkts darstellen. Grundlegend für Cantors Darlegungen ist dabei die auf Leonhard Euler zurückgehende eulersche Produktgleichung

$\frac{1}{1-x}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+x^{2^n})$,

welche für alle reellen (und darüber hinaus sogar für alle komplexen) Zahlen $x$ des Betrags $|x|<1$ Gültigkeit hat.

Cantors Satz

Cantors Satz über die cantorschen Produkte lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen:

Sei ${\alpha }_0>1$ eine reelle Zahl. Dann gilt:

(I) Zu ${\alpha }_0$ lässt sich eine und nur eine Zahlenfolge $(q_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ natürlicher Zahlen so bestimmen, dass ${\alpha }_0$ eine Produktdarstellung der Form

${\alpha }_0=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{q_n})$

hat, wobei in dieser Zahlenfolge für jeden Index $n$ die Ungleichung $q_{n+1}\ge {q_n}^2$ erfüllt ist und zudem nur endlich viele Folgenelemente $q_n=1$ sind.

(II) Jedes cantorsche Produkt, also jedes unendliche Produkt der in (I) beschriebenen Form, ist konvergent.

(III) ${\alpha }_0$ ist genau dann eine rationale Zahl, wenn in der cantorschen Produktdarstellung gemäß (I) ab einem Index $N$ für alle nachfolgenden Indizes $n\ge N$ stets die Identität $q_{n+1}={q_n}^2$ besteht.

Algorithmus zur Bestimmung der cantorschen Produktdarstellung

Die Zahlenfolge $(q_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ lässt sich ausgehend von ${\alpha }_0>1$ wie folgt induktiv festlegen:

$q_0=\lfloor \frac{{\alpha }_0}{{\alpha }_0-1}\rfloor$ und ${\alpha }_n=\frac{{\alpha }_{n-1}}{1+\frac{1}{q_{n-1}}}{q}_n=\lfloor \frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_n-1}\rfloor$ für $n\in \mathbb{N}$

Beispiele

• Formel von Engel:

Für $q\in \mathbb{N}$ gilt stets

$\sqrt{\frac{q+1}{q-1}}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{q_n})$

mit $q_0=q\in \mathbb{N}$ und $q_{n+1}=2\cdot {q_n}^2-1$ $(n=0,1,2,3\dots )$.

Insbesondere gilt für $q=3$:

$\sqrt{2}=(1+\frac{1}{3})\cdot (1+\frac{1}{17})\cdot (1+\frac{1}{577})\cdot (1+\frac{1}{665857})\cdot \cdots$

• Weitere Beispiele von Cantor:

$\sqrt{3}=(1+\frac{1}{2})\cdot (1+\frac{1}{7})\cdot (1+\frac{1}{97})\cdot (1+\frac{1}{18817})\cdot \cdots$

$\sqrt{5}=(1+\frac{1}{1})\cdot (1+\frac{1}{9})\cdot (1+\frac{1}{161})\cdot (1+\frac{1}{51841})\cdot \cdots$

$\sqrt{15}=(1+\frac{1}{1})\cdot (1+\frac{1}{2})\cdot (1+\frac{1}{4})\cdot (1+\frac{1}{31})\cdot (1+\frac{1}{1921})\cdot \cdots$

Anmerkung

• Im ersten Band des Lexikons der Mathematik werden auch endliche Produkte, welche ansonsten die beiden oben genannten Nebenbedingungen erfüllen, als cantorsche Produkte behandelt. Zudem wird für alle $n$ $q_n\ge 2$ gefordert.
• Perron erwähnt zu den cantorschen Produkten in den Irrationalzahlen, dass diese sehr rasch konvergieren. Aus ihnen kann man daher mit nur wenigen Rechenschritten sehr gute Näherungsbrüche für alle reellen Zahlen > 1 gewinnen.
• Auf Euler gehen zwei weitere bemerkenswerte eulersche Produktdarstellungen zurück, nämlich die folgenden beiden, die in der modernen Funktionentheorie auf dem Wege über Thetafunktionen hergeleitet werden:

Für jede komplexe Zahl $z$ des Betrages $|z|<1$ gilt:

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-z^n)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\cdot z^{\frac{3n^2+n}{2}}$

sowie

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-z^n{)}^3=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\cdot (2n-1)\cdot z^{\frac{n^2-n}{2}}$ .

Literatur

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