Brocard-Punkte

Der erste Brocard-Punkt P

Brocard-Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922), der bei ihrer Definition auftretende spezielle Winkel wird als Brocard-Winkel bezeichnet.

Definition

Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:

In einem Dreieck $\mathrm{\Delta }ABC$ mit den Seiten $a,b,c$ gibt es genau einen Punkt $P$ derart, dass die Strecken $\overline{AP},\overline{BP},\overline{CP}$ der Reihe nach mit den Seiten $c,a,b$ den gleichen Winkel $\omega$ einschließen, d. h., dass die Winkelgleichung $\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ gilt. Dieser Punkt $P$ heißt der erste Brocard-Punkt und der Winkel $\omega$ heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks $\mathrm{\Delta }ABC$.

Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken Vorlage:Overline, Vorlage:Overline, Vorlage:Overline der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$ gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel $\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ ist dem Winkel $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$ gleich.

Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.

Vor Brocard wurden sie schon von August Leopold Crelle (1817) und Karl Friedrich Andreas Jacobi (1825) untersucht.

Konstruktion

Konstruktion des ersten (P) und des zweiten (Q) Brocard-Punktes

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes P beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbögen ersetzt), geht folgendermaßen:

Man schneidet die Mittelsenkrechte ms₁ der Seite Vorlage:Overline mit der Senkrechten s₁ zu der Seite Vorlage:Overline durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Seite Vorlage:Overline im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Seite Vorlage:Overline im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Seite Vorlage:Overline im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt P – den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!

Die drei soeben konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt Q (grün gestrichelte Linien).

Formeln für den Brocard-Winkel

Schreibt man $A_{\mathrm{\Delta }}$ für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:

• $\tan \omega =\frac{4A_{\mathrm{\Delta }}}{a^2+b^2+c^2}$.
• $\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$.
• $\sin \omega =\frac{2A_{\mathrm{\Delta }}}{\sqrt{b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{b}^2}}$

Für jedes Dreieck gilt $\omega \le 30^{\circ }$.

Eigenschaften

• Die beiden Brocard-Punkte eines Dreiecks ABC sind stets zueinander isogonal konjugiert.
• Der Mittelpunkt der beiden Brocard-Punkte (Kimberling-Nummer X(39)) liegt auf der sogenannten Brocard-Achse, die den Umkreismittelpunkt und den Lemoine-Punkt verbindet. Die Verbindungsgerade der beiden Brocard-Punkte ist senkrecht zur Brocard-Achse.

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des ersten bzw. zweiten Brocard-Punkts sind

$\frac{c}{b}:\frac{a}{c}:\frac{b}{a}\text{bzw.}\frac{b}{c}:\frac{c}{a}:\frac{a}{b}$.

Die baryzentrischen Koordinaten sind

$\frac{1}{b^2}:\frac{1}{c^2}:\frac{1}{a^2}\text{bzw.}\frac{1}{c^2}:\frac{1}{a^2}:\frac{1}{b^2}$.

Dabei sind $a,b,c$ die Seitenlängen des Dreiecks.

Dritter Brocard-Punkt

Gelegentlich wird der Punkt mit trilinearen Koordinaten $(a^{-3},b^{-3},c^{-3})$ als „dritter“ Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die Kimberling-Nummer $X_{76}$ und die baryzentrischen Koordinaten $(a^{-2},b^{-2},c^{-2})$. Damit schließt er die Permutation mit den ersten beiden Brocard-Punkten mit den baryzentrischen Koordinaten $(b^{-2},c^{-2},a^{-2})$ bzw. $(c^{-2},a^{-2},b^{-2})$.

Literatur

• Ross Honsberger Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995, Kapitel 10 (Brocard Points)
• Roger A. Johnson Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, Houghton Mifflin 1929, Neuauflage als Advanced Euclidean Geometry, Dover 1960
• Julian Coolidge A treatise on the geometry of the circle and the square, New York, Chelsea 1971

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Brocard Points (First Brocard Point, Second Brocard Point, Third Brocard Point) auf MathWorld