Bose-Einstein-Statistik

Besetzungszahl $⟨n⟩$ als Funktion der Energie $E-\mu$
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur $T>0$.
Das chemische Potential $\mu$ ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei $T=0\mathrm{K}$ entspricht es der Fermi-Energie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $⟨n(E)⟩$ eines Quantenzustands der Energie $E$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $T$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $E$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $x,y,z,m$ zweier Bosonen ($x,y$ und $z$: Ortsvariable; $m$: Spinvariable) die Wellenfunktion $\psi$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $(\psi \to \psi )$, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $(\psi \to -\psi )$. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$⟨n(E)⟩=\frac{1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}$

mit

• dem chemischen Potential $\mu$, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: $\mu <E$;
  daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte $E-\mu >0$ definiert.
• der Energienormierung $\beta$. Die Wahl von $\beta$ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
  • üblicherweise wird sie gewählt zu $\beta =1/(k_{\mathrm{B}}T)$ mit der Boltzmann-Konstanten $k_{\mathrm{B}}$;
  • sie beträgt $\beta =1/T$, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $k_{\mathrm{B}}$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $T_{\lambda }$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $\mu$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $⟨n(E)⟩$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $g_i=2s+1$ zu multiplizieren ($s$: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Herleitung aus einem Minimum der freien Energie

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei konstanter Temperatur $T$, Teilchenzahl $N$ und Volumen $V$) die freie Energie

$F=E-TS(1)$

ein Minimum annimmt, kann die Bose-Einstein-Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden. Es sei $N$ die Gesamtzahl aller Bosonen und $N_i$ die Anzahl Bosonen im Energieniveau $E_i$ mit $i=1,2,\dots ,I$, d. h. die $N$ Bosonen seien über die Energieniveaus $E_i$ verteilt. $D_i$ sei die Anzahl der möglichen Zustände im Energieniveau $E_i$, d. h. die Energieniveaus $E_1,E_2,\dots ,E_I$ seien jeweils $D_1,D_2,\dots ,D_I$ -fach entartet. Für den Makrozustand des Systems ist es unerheblich, welche der $N$ Bosonen sich im $i$-ten Energieniveau befinden und welche der $D_i$ Zustände sie darin besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch $N_1,N_2,\dots ,N_I$ bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt:

$\begin{array}{ccc}N& =\sum _{i=1}^I{N}_i& (2)\\ E& =\sum _{i=1}^I{N}_i{E}_i& (3)\\ S& =k_{\mathrm{B}}\ln W.& (4)& \end{array}$

Gleichung (2) gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen $N_i$ variiert werden, um das Minimum von $F$ zu erreichen. Gleichung (3) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie $E$ des Systems an. Gleichung (4) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei $W={\prod }_{i=1}^I{W}_i$ die Wahrscheinlichkeit für die Besetzungszahlen $N_1,N_2,\dots ,N_I$ angibt, d. h. die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils $N_i$ Bosonen auf die Plätze $D_i$ für alle Energieniveaus $i=1,2,\dots ,I$. Aus Gleichung (4) folgt damit:

$S=k_{\mathrm{B}}\ln \prod _{i=1}^I{W}_i=k_{\mathrm{B}}\sum _{i=1}^I\ln W_i.(5)$

Dabei gibt der Binomialkoeffizient

$W_i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_i+D_i-1}{N_i})=\frac{(N_i+D_i-1)!}{N_i!(D_i-1)!}$

die Anzahl der Möglichkeiten an, dass $N_i$ Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das $D_i$-fach entartete Energieniveau $E_i$ zu besetzen (Kombination mit Wiederholung von $N_i$ Teilchen).

Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling-Reihe ($\ln k!\approx k\ln k-k$ für $k\to \mathrm{\infty }$) und $N_i>>1,D_i>>1$ ergibt sich weiter

$\begin{array}{cc}\ln W_i& =\ln (N_i+D_i-1)!-\ln N_i!-\ln (D_i-1)!\\ & \approx (N_i+D_i-1)\ln (N_i+D_i-1)-(N_i+D_i-1)-N_i\ln N_i+N_i-(D_i-1)\ln (D_i-1)+(D_i-1)\\ & =(N_i+D_i-1)\ln (N_i+D_i-1)-N_i\ln N_i-(D_i-1)\ln (D_i-1).(6)\\ \end{array}$

Um die Verteilung zu finden, bei der die freie Energie $F$ unter der Nebenbedingung $N=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$, aber $N_i$ variabel, minimal wird, kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren benutzt werden:

$\frac{\partial F}{\partial N_i}-\lambda \frac{\partial N}{\partial N_i}=0$ für $i=1,2,3\dots I.(7)$

Darin ist $\lambda$ der (von $i$ unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Hierbei gilt für die partiellen Ableitungen $\frac{\partial N}{\partial N_i}=1$ und $\frac{\partial E}{\partial N_i}=E_i$, da jedes $N_i$ genau einmal linear in der Summe von Gleichung (2) bzw. (3) vorkommt. Da $N_i$ nur Variable von $W_i$, aber nicht von $W_j$ mit $j\ne i$ ist, vereinfacht sich die Summe von Gleichung (5) durch die partielle Ableitung nach $N_i$ wie folgt: $\frac{\partial S}{\partial N_i}=k_{\mathrm{B}}\frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i}$.

Damit ergibt sich aus Gleichung (1) und (7):

$\lambda =\frac{\partial F}{\partial N_i}=\frac{\partial E}{\partial N_i}-T\frac{\partial S}{\partial N_i}=E_i-k_{\mathrm{B}}T\frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i}.(8)$

Die partielle Ableitung $\frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i}$ kann aus Gl. (6) mit $N_i>>1$ berechnet werden:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial \ln W_i}{\partial N_i}& \approx \ln (N_i+D_i-1)+1-\ln N_i-1\\ & =\ln (N_i+D_i-1)-\ln N_i\\ & =\ln (D_i/N_i+1-1/N_i)\\ & \approx \ln (D_i/N_i+1).\\ \end{array}$

Damit ergibt sich aus Gleichung (8)

$\lambda =E_i-k_{\mathrm{B}}T\ln (D_i/N_i+1)$.

Einsetzen der durch $f_i:=\frac{N_i}{D_i}$ gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit $f_i$ und Umstellung ergibt

$f_i=\frac{1}{\exp \frac{E_i-\lambda }{k_{\mathrm{B}}T}-1}$.

Dies ist die Bose-Einstein-Statistik. Der Lagrange-Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential $\mu =\lambda$.

Literatur

• U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – a Concise Overview. Springer, Berlin//Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch).
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik. Verlag Harri Deutsch (ehem. Akademie Verlag), Berlin 1987 (verwendet unübliche Temperatureinheit).

Einzelnachweise

• Vorlage:Literatur insbes. S. 310–313

• Vorlage:LiteraturQRSTUV-DA-89876; insbes. Kap. 13.2, S. 519; Kap. 13.5, S. 529

Siehe auch

• Fermi-Dirac-Statistik
• Boltzmann-Statistik