Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien $E_i$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$. Es bezeichne $\mathbb{P}(E_i)$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_i$ und $\bigcup _{i=1}^n{E}_i$ die Vereinigungsmenge der Ereignisse $E_1,\dots ,E_n$. Bekannterweise gilt:

$\mathbb{P}(E_1\bigcup E_2)=\mathbb{P}\left(E_1\right)+\mathbb{P}\left(E_2\right)-\mathbb{P}(E_1\bigcap E_2)\le \mathbb{P}\left(E_1\right)+\mathbb{P}\left(E_2\right)$

Allgemeiner gilt:

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{E}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mathbb{P}\left(E_i\right)$.

Es gilt auch allgemeiner:

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(E_i\right)$

Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet.

Beweis

Setzt man

$A_i=E_i\setminus \left(\bigcup _{j=1}^{i-1}{E}_j\right),$

dann sind die $A_i$ paarweise disjunkt und es gilt

$\bigcup _i{A}_i=\bigcup _i{E}_i.$

Damit folgt

$\mathbb{P}\left(\bigcup _i{E}_i\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup _i{A}_i\right)=\sum _i\mathbb{P}(A_i)\le \sum _i\mathbb{P}(E_i).$

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen $A_i\subseteq E_i$ und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder $E_i$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$. Ferner bezeichne $\overline{E_i}=\mathrm{\Omega }\setminus E_i$ das Komplement von $E_i$. Dann folgt:

$\mathbb{P}\left(\bigcap _{i=1}^n{E}_i\right)\ge 1-\sum _{i=1}^n\mathbb{P}\left(\overline{E_i}\right)=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}\left(E_i\right)-(n-1)$

Dritte Ungleichung

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung (Vorlage:EnS) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{E}_i\right)\ge \sum _{i=1}^n\mathbb{P}\left(E_i\right)-\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i,j=1,\dots ,n}{\text{mit}i<j}}\mathbb{P}\left(E_i\cap E_j\right)$

Beispiele

• Es ist $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Würfelwurfs. Bezeichne $E_1=\{2,4,6\}$ das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und $E_2=\{5,6\}$ das Ereignis, dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist. Offensichtlich gilt $\mathbb{P}(E_1)=\frac{1}{2}$ und $\mathbb{P}(E_2)=\frac{1}{3}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also $E=\{2,4,5,6\}$,

$\mathbb{P}(E_1\cup E_2)\le \mathbb{P}\left(E_1\right)+\mathbb{P}\left(E_2\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}.$

• Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also $E_3=\{6\}$:

$\mathbb{P}(E_1\cap E_2)\ge 1-\mathbb{P}\left(\overline{E_1}\right)-\mathbb{P}\left(\overline{E_2}\right)=1-(1-\frac{1}{2})-(1-\frac{1}{3})=-\frac{1}{6}$

Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage, da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit größer oder gleich Null ist.

Jedoch folgt für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln, also $E=\{2,4\}$,

$\mathbb{P}(E_1\cap \overline{E_2})\ge 1-\mathbb{P}\left(\overline{E_1}\right)-\mathbb{P}\left(E_2\right)=1-(1-\frac{1}{2})-(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{6}.$

Siehe auch

• Prinzip von Inklusion und Exklusion

Literatur

• Vorlage:Literatur
• János Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u. a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
• Vorlage:EoM
• Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
• Vorlage:Literatur