Bogomolny-Gleichungen

Die Bogomolny-Gleichung ist in der Mathematischen Eichtheorie eine Gleichung zur Beschreibung hypothetischer magnetischer Monopole. Formuliert ist diese in drei Dimensionen und folgt durch Dimensionsreduktion aus den selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen. Benannt sind die Gleichungen nach Eugene Bogomolny. Untersucht wurden die Bogomolny-Gleichungen und insbesondere ihr Modulraum unter anderem von Michael Atiyah und Nigel Hitchin. Auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten ergeben sich nur triviale Lösungen.

Formulierung

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel mit einer dreidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit $B$. Für einen glatten Schnitt $\mathrm{\Phi }\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^0(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^0(B,\mathrm{Ad}(E))\cong {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(B,\mathrm{Ad}(E))$ (welche in den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen das Higgs-Feld repräsentiert) und einen Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^1(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ mit Krümmungsform $F_A:={\mathrm{d}}_{A}A:=\mathrm{d}A+[A\wedge A]\in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Ad}}^2(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$ ist die Bogomolny-Gleichung gegeben durch:

$F_A=\star {\mathrm{d}}_A\mathrm{\Phi }.$

Verbindung zu den Yang-Mills-Gleichungen

Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist nicht unbedingt eine Lösung der Yang-Mills-Gleichung, obwohl mit der Bianchi-Identität ${\mathrm{d}}_A{\mathrm{d}}_A\mathrm{\Phi }+[\mathrm{\Phi },F_A]=0$ folgt:

${\mathrm{d}}_A\star F_A={\mathrm{d}}_A{\star }^2{\mathrm{d}}_A\mathrm{\Phi }=\pm {\mathrm{d}}_A^2\mathrm{\Phi }=\mp [\mathrm{\Phi },F_A].$

Dadurch lassen sich die partiellen Differentialgleichungen von zweitem Grad zu erstem Grad reduzieren und einfacher lösen. Dabei ergeben sich jedoch wegen der zusätzlichen Annahme, auch die Bogomolny-Gleichung zu lösen, nicht alle Lösungen.

Verbindung zu den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist eine Lösung der zweiten Yang-Mills-Higgs-Gleichung, da diese dann direkt auf die Bianchi-Identität ${\mathrm{d}}_A{F}_A=0$ zurückfällt:

${\mathrm{d}}_A\star {\mathrm{d}}_A\mathrm{\Phi }={\mathrm{d}}_A{F}_A=0.$

Literatur

• Vorlage:Cite book
• Vorlage:Cite journal

Weblinks

• Bogomolny equation auf nLab (englisch)