Blumenthalsches Null-Eins-Gesetz

Das Blumenthalsche 0-1-Gesetz, benannt nach R. M. Blumenthal, ist ein mathematischer Satz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wie alle Null-Eins-Gesetze beschreibt er eine Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten stets 0 oder 1 sind.

Aussage

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(B_t{)}_{t\ge 0}$ eine darauf definierte Brownsche Bewegung mit Filtrierung ${ℱ}_t=\sigma (\{B_s\mid s\le t\})$. Dann ist die σ-Algebra ${ℱ}_0^{+}$, definiert durch ${ℱ}_0^{+}=\bigcap _{t>0}{ℱ}_t$, $\mathbb{P}$-trivial, d. h. es gilt: $\mathbb{P}(A)\in \{0,1\}$ für alle $A\in {ℱ}_0^{+}$.

Anschaulich beinhaltet ${ℱ}_0^{+}$ genau jene Ereignisse, die nur von $(B_t{)}_{0\le t\le \epsilon }$, für beliebig kleines $\epsilon$ abhängen. Beispielsweise ist das Ereignis $A=\{\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }t>0:t<\epsilon \wedge B_t=0\}\in {ℱ}_0^{+}$, es gilt also $\mathbb{P}(A)\in \{0,1\}$.

Literatur

• Blumenthal, R.M.: An extended Markov property. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 85, 1957, S. 52–72.
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8