Bewertung (Geometrie)

Eine Bewertung ist in der Geometrie eine modulare Mengenfunktion, die von einem Mengensystem $S$ über einer Grundmenge $X$ in eine abelsche Halbgruppe $H$ abbildet. Der Begriff sollte nicht mit der Bewertung im algebraischen Sinne verwechselt werden.

Definition

Sei $X$ eine Menge und $V$ ein Mengenverband über $X$. Weiter sei $H$ eine abelsche Halbgruppe. Eine Funktion $\phi :V\to H$ wird Bewertung genannt, wenn

$\phi (A)+\phi (B)=\phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)$

für alle $A,B\in V$ gilt.

Beispiele

• Das Lebesgue-Maß oder die Euler-Charakteristik über die Menge der konvexen Körper des $d$-dimensionalen euklidischen Raum ${ℝ}^d$ stellen Bewertungen dar.
• Die Dirac-Bewertung auf einem topologischem Raum.

Eigenschaften

• Eine Bewertung ist per definitionem immer submodular.
• Nach dem Satz von Hadwiger lässt sich eine stetige, isometrie-invariante Bewertung auf dem $d$-dimensionalen euklidischen Raum ${ℝ}^d$ als eine Linearkombination von Quermaßintegralen darstellen.
• Mithilfe von Bewertungen lässt sich das allgemeine kinematische Hauptsystem der Integralgeometrie formulieren.

Literatur

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