Bewertung (Algebra)

Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie, einem Gebiet der Algebra, von Bedeutung. Nicht-archimedische p-adische Bewertungen werden für die Konstruktion der p-adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend für die p-adische Geometrie. In älteren Zugängen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkörpern verwendet.

Bewertungen

Eine Bewertung eines Körpers $K$ ist eine Funktion $\phi :K\to P$ in einen angeordneten Körper $P$ mit den Eigenschaften

1. $\phi (x)\ge 0$ und $\phi (x)=0⟺x=0$
2. $\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$
3. $\phi (x+y)\le \phi (x)+\phi (y)$

Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion $|x|$ auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur $|\cdot |:ℂ\to ℝ$. Eine Bewertung $|\cdot |:K\to ℝ$ heißt nicht-archimedisch, wenn $|n|\le 1$ für $n\in \mathbb{N}$. Eine Bewertung ist genau dann nicht-archimedisch, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

Allgemeine Bewertungen (Exponenentialbewertungen)

Definition

Ist $G$ eine totalgeordnete abelsche Gruppe und $K$ ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

$v:K\to G\cup \{\mathrm{\infty }\}$

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• $v(ab)=v(a)+v(b)$
• $v(a)=\mathrm{\infty }⟺a=0$
• $v(a+b)\ge \min \{v(a),v(b)\}$

für alle $a,b\in K$.

$K$ heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe $v(K^{\times })\subseteq G$.

Zwei Bewertungen $v_1$ und $v_2$ heißen äquivalent, wenn $v_1(a)<1⟺v_2(a)<1$ gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Bewertungen und Bewertungsringe

Ein Integritätsbereich $A$ heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element $x$ des Quotientenkörpers von $A$ gilt $x\in A$ oder $x^{-1}\in A$.

Ist $A$ ein Bewertungsring mit Quotientenkörper $K$, so kann man eine Bewertung auf $K$ mit Wertegruppe $G=K^{\times }/A^{\times }$ definieren:

$v:K\to G\cup \{\mathrm{\infty }\},v(x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& x=0\\ [x]& x\in K^{\times };\end{array}$

dabei bezeichnet $[x]$ das Bild von $x$ in $G=K^{\times }/A^{\times }$; die Ordnung auf $G$ ist definiert durch

$[x]\ge [y]⟺x{y}^{-1}\in A$ für $x,y\in K^{\times }.$

Ist umgekehrt $K$ ein bewerteter Körper mit Bewertung $v$, so ist

$\{x\in K\mid v(x)\ge 0\}$

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung $v$ genannt wird. Die Gruppe $K^{\times }/A^{\times }$ ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von $v$.

Für einen Körper $K$ gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf $K$ und Bewertungsringen, die in $K$ enthalten sind.

Diskrete Bewertungen

Definition

Es sei $K$ ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

$v:K\to \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• $v(ab)=v(a)+v(b)$
• $v(a)=\mathrm{\infty }⟺a=0$
• $v(a+b)\ge \min \{v(a),v(b)\}$

für alle $a,b\in K$. $K$ zusammen mit $v$ heißt diskret bewerteter Körper.

Beispiele

• die $p$-Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl $p$
• die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe

Die Teilmenge

$A:=\{x\in K\mid v(x)\ge 0\}$

bildet einen Unterring von $K$, den Bewertungsring von $v$. Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal $𝔪:=\{x\mid x\in K,v(x)>0\}$, welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt $(A,𝔪)$ ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

$v(x)=\sup \{k\in \mathbb{Z}\mid x\in {𝔪}^k\}$

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von $A$ definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

p-Bewertung

Es sei $p$ eine Primzahl.

Die $p$-Bewertung (auch: die $p$-adische Bewertung oder der $p$-Exponent) $v_p(n)$ einer natürlichen oder ganzen Zahl $n$ ist die größte Zahl $k$, so dass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die $p$-Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_k^{a_k},$

so ist

$v_{p_1}(n)=a_1,v_{p_2}(n)=a_2,\dots ,v_{p_k}(n)=a_k.$

Tritt eine Primzahl $p$ nicht in der Primfaktorzerlegung von $n$ auf, dann ist $v_p(n)=0$.

Man setzt $v_p(0)=\mathrm{\infty }$, weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die $p$-Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die $p$-Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der $p$-Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl $r=\frac{m}{n}$ mit $m,n\in \mathbb{Z}$ ist also

$v_p(r)=v_p(m)-v_p(n).$

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs $m/n$ auf, ist $v_p(r)$ also eine negative Zahl.

Die $p$-Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

$r\mapsto p^{-v_p(r)}$

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

p-ganze und S-ganze Zahlen

Eine $p$-ganze Zahl (auch "$p$-adisch ganze Zahl" oder "für $p$ ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative Vorlage:Nowrap hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch $p$ teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht $p$-ganz sind, werden manchmal auch "$p$-gebrochen" genannt.

Die Menge aller $p$-ganzen Zahlen ist ein Unterring von $\mathbb{Q}$, der ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ geschrieben wird. ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich $p$.

Ist allgemeiner $S$ eine Menge von Primzahlen, so ist eine $S$-ganze Zahl eine rationale Zahl, die $p$-ganz für jedes $p\notin S$ ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus $S$ teilbar ist. Die Menge der $S$-ganzen Zahlen bildet einen Unterring ${\mathbb{Z}}_S$ von $\mathbb{Q}$.

Beispiele

• Für $S=\mathrm{\varnothing }$ ist ${\mathbb{Z}}_S=\mathbb{Z}$.
• Für eine Primzahl $p\in \mathbb{P}$ und $S=\mathbb{P}\setminus \{p\}$ ist Vorlage:Nowrap der diskrete Bewertungsring der $p$-ganzen Zahlen.
• Für $S=\{2,5\}$ ist ${\mathbb{Z}}_S$ der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.

Verallgemeinerungen

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper $𝕂$ der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern $(K,|\cdot |)$, also Körpern mit einem Absolutbetrag $|\cdot |$, zugelassen werden. Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen $R$-(Links)-Modul $M$ über einem unitären Ring mit Betrag $(R,|\cdot |)$ ersetzt wird. Eine Funktion $\Vert \cdot \Vert :M\to {ℝ}_{+}$ heißt dann Norm auf dem Modul $M$, wenn für alle $x,y\in M$ und alle Skalare $\alpha \in R$ die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring $R$ der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul $M$ die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.

Literatur

• B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, Achtzehntes Kapitel: "Bewertete Körper", S. 200–234.
• J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-5403-7547-3, Kapitel II: "Bewertungstheorie", S. 103–191.
• Serge Lang: Algebra, Springer (2005), ISBN 0-387-95385-X, Absolute Values, S. 465–499.

Weblinks

• Valuation (MathWorld)
• Valuation (Encyclopedia of Mathematics)