Berkovich-Gerade

In der Mathematik ist die Berkovich-Gerade eine von Vladimir Berkovich eingeführte Version der affinen Gerade, die vor allem in der p-adischen Geometrie von Nutzen ist.

Motivation

Wenn man auf der p-adischen Geraden $Q_p^1$ oder allgemeiner auf $Q_p$-Mannigfaltigkeiten analytische Funktionen als diejenigen definiert, die sich lokal durch konvergente Potenzreihen darstellen lassen, dann sind alle Funktionen analytisch, denn $Q_p$ ist total unzusammenhängend. Um einen sinnvollen Begriff von analytischen Funktionen definieren zu können, fügt man Punkte hinzu, die den Raum zusammenhängend machen.

Definition der Berkovich-Gerade

Sei $K$ ein vollständiger Körper.

Die Punkte von $A^{1,Berk}$ sind die multiplikativen Halbnormen auf dem Polynomring $K\left[T\right]$, die den absoluten Betrag auf $K$ fortsetzen. Die Topologie von $A^{1,Berk}$ ist die schwächste Topologie, mit der die Abbildung $|\cdot |\mapsto |f|$ für alle Funktionen $f\in K\left[T\right]$ stetig wird.

Beispiele

Für $K=ℂ$ ist $A^{1,Berk}=ℂ$, denn alle multiplikativen Halbnormen sind durch $f\mapsto |f(z)|$ für ein $z\in ℂ$ gegeben.

Für einen algebraisch abgeschlossenen, vollständigen, nicht-archimedischen Körper sind multiplikative Halbnormen entweder von der Form

$f\mapsto |f(x)|$

für ein $x\in K$ oder

$f\to \underset{x\in D_r(a)}{\sup }|f(x)|$

für ein $a\in K,r\in ℝ$. Hierbei bezeichnet $D_r(a)=\{x\in K:\Vert x-a\Vert \le r\}$.

Berkovichs Klassifikationssatz

Jedes $x\in A^{1,Berk}$ entspricht einer absteigenden Folge ineinander geschachtelter abgeschlossener Kugeln $D_{r_i}(a_i)$. Mit $D:=\bigcap _i{D}_{r_i}(a_i)$ erhält man die folgende Klassifikation in vier Typen:

• Typ I: $D=D_0(a)$ für ein $a\in K$
• Typ II: $D=D_r(a)$ für ein $a\in K,r\in |K^{*}|$
• Typ III: $D=D_r(a)$ für ein $a\in K,r\in ̸|K^{*}|$
• Typ IV: $D=\mathrm{\varnothing }$

Eigenschaften

Die Berkovich-Gerade $A^{1,Berk}$ ist ein lokal kompakter Hausdorff-Raum. Die den Punkten in $K$ entsprechenden Punkte vom Typ I liegen dicht in $A^{1,Berk}$. Die Berkovich-Gerade ist eindeutig wegzusammenhängend, d. h., je zwei Punkte lassen sich durch einen eindeutigen kürzesten Weg verbinden. Punkte vom Typ II sind Verzweigungspunkte.

Literatur

• V. Berkovich: Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs 33, 1990

Weblinks

• M. Jonsson: Topics in Algebraic Geometry: Berkovich spaces
• M. Baker: An introduction to Berkovich analytic spaces and non-archimedean potential theory on curves