Atoroidale Mannigfaltigkeit

In der dreidimensionalen Topologie beschreibt Atoroidalität eine Beziehung zwischen dem Rand einer Mannigfaltigkeit und der Mannigfaltigkeit selbst.

Eine irreduzible Mannigfaltigkeit $M$ heißt geometrisch atoroidal, wenn sich jeder in $M$ inkompressibel eingebettete 2-Torus durch eine Isotopie auf eine Randkomponente von $M$ verschieben lässt. Dies bedeutet, dass $M$ keine eingebetteten Tori enthält, außer solchen, die offensichtlich existieren müssen.

Eine irreduzible Mannigfaltigkeit heißt homotopisch atoroidal, wenn jede Abbildung $T^2\to M$, die die Fundamentalgruppe des Torus $T^2$ injektiv in die Fundamentalgruppe von $M$ abbildet, zu einer Abbildung in den Rand homotop ist. Dies entspricht der Eigenschaft der Fundamentalgruppe von $M$, dass jede Untergruppe der Form $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ zur Fundamentalgruppe einer Torus-Randkomponente konjugiert ist.

Man kann zeigen, dass „geometrisch atoroidal“ aus „homotopisch atoroidal“ folgt. Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Der Torus-Satz besagt, dass eine geometrisch atoroidale 3-Mannigfaltigkeit entweder homotopisch atoroidal oder ein Seifertscher Faserraum ist.

Die Hyperbolisierungvermutung von Thurston besagt, dass jede irreduzible homotopisch atoroidale Mannigfaltigkeit mit unendlicher Fundamentalgruppe eine hyperbolische Struktur trägt.