Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf $[0,\pi ]$, und der Definitionsbereich von Kosekans auf $[-\pi /2,\pi /2]$ beschränkt. Der Arkussekans wird mit $\mathrm{arcsec}(x)$ bezeichnet und der Arkuskosekans mit $\mathrm{arccsc}(x)$. Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen ${\sec }^{-1}(x)$ und ${\csc }^{-1}$; sie bedeuten aber nicht, dass $\mathrm{arcsec}$ bzw. $\mathrm{arccsc}$ die Kehrwerte von $\sec$ und $\csc$ sind.

Eigenschaften

	Arkussekans	Arkuskosekans
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$-\mathrm{\infty }<x\le -1,1\le x<+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }<x\le -1,1\le x<+\mathrm{\infty }$
Wertebereich	$0\le f(x)\le \pi$	$-\frac{\pi }{2}\le f(x)\le \frac{\pi }{2}$
Monotonie	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Punkt $x=0,y=\frac{\pi }{2}$	Ungerade Funktion $\mathrm{arccsc}(x)=-\mathrm{arccsc}(-x)$
Asymptoten	$f(x)\to \frac{\pi }{2}$ für $x\to \pm \mathrm{\infty }$	$f(x)\to 0$ für $x\to \pm \mathrm{\infty }$
Nullstellen	$x=1$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	Minimum bei $(1|0)$, Maximum bei $(-1|\pi )$	Minimum bei $(-1|-\frac{\pi }{2})$, Maximum bei $(1|\frac{\pi }{2})$
Wendepunkte	keine	keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

$\mathrm{arcsec}(x)=\frac{\pi }{2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}\approx \frac{\pi }{2}-x^{-1}-\frac{1}{6}{x}^{-3}-\frac{3}{40}{x}^{-5}$

$\mathrm{arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{2\cdot 3x^3}+\frac{3}{2\cdot 4\cdot 5x^5}+\frac{3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7x^7}+\dots$

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

$\mathrm{arcsec}(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t^2-1}}$

$\mathrm{arccsc}(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t^2-1}}$

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}(x)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Integrale

$\int \mathrm{arcsec}(x)\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{arcsec}(x)-\mathrm{sgn}(x)\cdot \ln \left(|x+\sqrt{x^2-1}|\right)+C=x\cdot \mathrm{arcsec}(x)-\mathrm{arcosh}(|x|)+C$

$\int \mathrm{arccsc}(x)\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{arccsc}(x)+\mathrm{sgn}(x)\cdot \ln \left(|x+\sqrt{x^2-1}|\right)+C=x\cdot \mathrm{arccsc}(x)+\mathrm{arcosh}(|x|)+C$

Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen

$\mathrm{arcsec}(x)=\arccos \left(\frac{1}{x}\right)$

$\mathrm{arccsc}(x)=\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)$

Siehe auch

• Formelsammlung Trigonometrie
• Trigonometrische Funktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Secant und Inverse Cosecant auf MathWorld