Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus

Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans hyperbolicus bzw. Kosekans hyperbolicus. Als Funktionen werden sie $\mathrm{arsech}$ oder seltener ${\mathrm{sech}}^{-1}$ bzw. $\mathrm{arcsch}(x)$ und seltener ${\mathrm{csch}}^{-1}(x)$ geschrieben.

Definitionen

Man definiert den Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus meist über:

$\mathrm{arsech}(x)=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$

$\mathrm{arcsch}(x)=\{\begin{array}{cc}\ln \left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)& ,\text{für }x>0\\ \ln \left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right)& ,\text{für }x<0\end{array}$

Hierbei steht $\ln$ für den natürlichen Logarithmus.

Eigenschaften

Graph der Funktion Areasekans hyperbolicus

Graph der Funktion Areakosekans hyperbolicus

	Areasecans hyperbolicus	Areakosekans hyperbolicus
Definitionsbereich	$0<x\le 1$	$-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty };x\ne 0$
Wertebereich	$0\le f(x)<+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }<f(x)<+\mathrm{\infty };f(x)\ne 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton fallend	$x\ne 0$ streng monoton fallend
Symmetrien	keine	Ungerade Funktion $f(x)=-f(-x)$
Asymptote	$f(x)\to 0$  ; $x\to +1$	$f(x)\to 0$  ; $x\to \pm \mathrm{\infty }$
Nullstellen	$x=1$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x=0$	$x=0$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x=\frac{1}{2}\sqrt{2}$	keine

Spezielle Werte

Es gilt:

$\mathrm{arcsch}2=\ln \mathrm{\Phi }$

wobei $\mathrm{\Phi }$ den goldenen Schnitt bezeichnet.

Reihenentwicklungen

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arsech}(x)& =\ln \left(\frac{2}{x}\right)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k-1)!!x^{2k}}{(2k)!!2k}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}0<x\le 1\\ \mathrm{arcsch}(x)& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{P_{k-1}(0)}{k}{x}^k\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k\cdot (\frac{1}{2}{)}_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}{x}^{1-2k}\end{array}$

Dabei ist $P_k$ das $k$-te Legendre-Polynom und $(\frac{1}{2}{)}_n$ steht für das Pochhammer-Symbol.

Ableitungen

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsch}(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$.

Integrale

Stammfunktionen des Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus sind:

$\int \mathrm{arsech}(x)\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{arsech}(x)-\arctan \left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)+C$

$\int \mathrm{arcsch}(x)\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{arcsch}(x)+\ln (x+x\sqrt{1+x^{-2}})+C.$

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

$\mathrm{arsech}(x)=\mathrm{arcosh}\left(\frac{1}{x}\right)$

$\mathrm{arcsch}(x)=\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{x}\right)$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Secant und Inverse Hyperbolic Cosecant auf MathWorld