Abzählbar normierter Raum

Ein abzählbar normierter Raum (Vorlage:EnS) ist in der Funktionalanalysis ein lokalkonvexer Raum, dessen Topologie durch eine abzählbare Menge von kompatiblen Normen erzeugt wird, das heißt, sie besitzen dieselben Cauchy-Folgen. Der Begriff wurde von Israel Moissejewitsch Gelfand und Georgi Jewgenjewitsch Schilow eingeführt.

Abzählbar normierter Raum

Seien $\Vert \cdot {\Vert }_1$ und $\Vert \cdot {\Vert }_2$ zwei Normen auf einem linearen Raum $V$. Man nennt $\Vert \cdot {\Vert }_1$ und $\Vert \cdot {\Vert }_2$ kompatibel oder konsistent, falls eine Cauchy-Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in V$, welche in einer der beiden Normen gegen $x^{\prime }\in V$ konvergiert, auch in der anderen Norm gegen $x^{\prime }$ konvergiert.

Ein lokalkonvexer Raum $X$ heißt abzählbar normierter Raum, falls die Topologie durch eine abzählbare Menge kompatibler Normen $\{\Vert \cdot {\Vert }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ erzeugt wurde.

Eigenschaften

Man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Normen von der Form $\Vert \cdot {\Vert }_p\le \Vert \cdot {\Vert }_q$ für $q>p$ sind, ansonsten definiert man die Normen $\Vert \cdot {\Vert }_{1,k}=\max (\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2,\dots ,\Vert \cdot {\Vert }_k)$, welche die gleiche Topologie erzeugen.

Sei $X_n$ der Banachraum, der durch die Vervollständig bezüglich der $\Vert \cdot {\Vert }_n$-Norm entstanden ist. Dann existiert eine Inklusion

$X_1\supset X_2\supset \cdots \supset X_n\supset \cdots$

und $X$ ist ein Fréchet-Raum und der projektive Limes

$X=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{X}_n.$

$X$ ist metrisierbar und eine Metrik ist durch

$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\frac{\Vert x-y{\Vert }_n}{1-\Vert x-y{\Vert }_n}$

gegeben. Eine Folge in $X$ ist dann und nur dann eine Cauchy-Folge bezüglich dieser Metrik, wenn sie eine Cauchy-Folge bezüglich jeder Norm ist.

Beispiele

• Sei $X=C^{\mathrm{\infty }}[a,b]$ der Raum der glatten Funktionen auf $[a,b]$, dann wird der Raum durch die Normen

$\Vert f{\Vert }_n=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{\begin{array}{c}a\le t\le b\\ 0\le k\le n\end{array}}|f^{(k)}(t)|$

zu einem abzählbar normierten Raum.

Literatur

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