Vollkommener Körper

Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können.

Definition

Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn alle irreduziblen Polynome separabel sind, das heißt keine Mehrfachnullstellen in ihrem Zerfällungskörper haben.

Beispiele

Ein Körper ist genau dann vollkommen, wenn er

• entweder Charakteristik 0 hat (insbesondere sind die bekannten Körper $\mathbb{Q}$, $ℝ$ und $ℂ$ vollkommen.)

oder

• prime Charakteristik $p$ hat und der Frobenius-Homomorphismus ein Automorphismus ist. (Insbesondere sind alle endlichen Körper vollkommen.)

Ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers ist der Funktionenkörper ${𝔽}_q(X)$ für einen endlichen Körper ${𝔽}_q$.

Äquivalente Charakterisierungen

Ein Körper $K$ ist vollkommen, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.

• Kein über $K$ irreduzibles Polynom hat mehrfache Nullstellen im Zerfällungskörper.
• Jede endliche Erweiterung von $K$ ist separabel.
• Jede algebraische Erweiterung von $K$ ist separabel.
• Der separable Abschluss von $K$ ist algebraisch abgeschlossen.

Weblinks

• Perfect Field (Encyclopedia of Mathematics)
• Perfect Field (MathWorld)