σ-Algebra der invarianten Ereignisse

Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Ergodentheorie Verwendung findet. Dort dient sie beispielsweise zur Definition der Ergodizität oder zur Formulierung des individuellen Ergodensatzes und des L^p-Ergodensatzes.

Definition

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $T:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ eine messbare Abbildung.

Ein $A\in 𝒜$ heißt ein invariantes Ereignis, wenn $T^{-1}(A)=A$ ist.

Die Menge aller invarianten Ereignisse, also

$ℐ:=\{A\in 𝒜|T^{-1}(A)=A\}$,

heißt dann die σ-Algebra der invarianten Ereignisse.

Eigenschaften

• Dass $ℐ$ tatsächlich eine σ-Algebra ist, folgt direkt aus der Verträglichkeit der Urbildoperation mit den Mengenoperationen.
• Eine Funktion von $\mathrm{\Omega }$ nach $ℝ$ ist genau dann $ℐ$-messbar, wenn sie $𝒜$-messbar ist und $f\circ T=f$ gilt.

Quasi-invariante Ereignisse

Eine Abschwächung des Begriffes eines invarianten Ereignisses ist ein quasi-invariantes Ereignis. Dabei wird die Gleichheit nur fast sicher gefordert. Demnach heißt ein $A\in 𝒜$ quasi-invariant, wenn

${\chi }_A={\chi }_{T^{-1}(A)}P\text{-fast sicher}$

gilt. Auch die quasi-invarianten Ereignisse bilden für maßerhaltende Abbildungen $T$ eine σ-Algebra, sie ist gegeben durch

${ℐ}_P:=\{A\in 𝒜|{\chi }_A={\chi }_{T^{-1}(A)}P\text{-fast sicher}\}$.

Tatsächlich unterscheiden sich die quasi-invarianten Ereignisse und die invarianten Ereignisse kaum, denn es lässt sich zeigen, dass für jedes $A\in {ℐ}_P$ ein $B\in ℐ$ gibt, so dass $P(A\mathrm{△}B)=0$ ist. Es lässt sich also zu jeder quasi-invarianten Menge immer eine invariante Menge finden, so dass diese sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.

Literatur

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