Meissel-Mertens-Konstante

Die Meissel-Mertens-Konstante (nach Ernst Meissel und Franz Mertens) ist eine mathematische Konstante. Ähnlich wie die Summe der reziproken natürlichen Zahlen $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ (harmonischen Reihe) wächst auch die Summe der reziproken Primzahlen $\sum _{p\in \mathbb{P}}^n\frac{1}{p}$ unbeschränkt (hierbei beschreibt $\mathbb{P}$ die Menge aller Primzahlen). D. h. beide Summen werden für zunehmende Gliederzahl n beliebig groß. Das genaue asymptotische Wachstum wird durch die beiden Grenzwerte beschrieben:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n),M:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\in \mathbb{P}}{p\le n}}\frac{1}{p}-\ln (\ln n))$

Hierbei ist $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante und $M$ die Meissel-Mertens-Konstante. Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst also asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus $\ln (\ln n)$. Sie tritt hauptsächlich in der Zahlentheorie und Funktionentheorie auf. Es bestehen zahlreiche Zusammenhänge mit anderen mathematischen Konstanten und Reihen. Beispielsweise:

$M=\gamma +\sum _{p\in \mathbb{P}}[\ln (1-\frac{1}{p})+\frac{1}{p}]$

$M=\gamma +\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k)}{k}\ln (\zeta (k))$

Hierbei ist $\mu (n)$ die Möbiusfunktion und $\zeta (n)$ die Riemannsche Zetafunktion. Der numerische Wert der Meissel-Mertens-Konstante ist

$M=0,26149721284764278375542683860869585905156664826119\dots$ (Vorlage:OEIS)

Literatur

• Vorlage:Cite journal

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
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