Formelsammlung Stochastik

Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Stochastik einschließlich Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, Zufallsvariablen und Verteilungen sowie Statistik.

Notation

In der Stochastik gibt es neben der üblichen mathematischen Notation und den mathematischen Symbolen folgende häufig verwendete Konventionen:

• Zufallsvariablen werden in Großbuchstaben geschrieben: $X$, $Y$ etc.
• Realisierungen einer Zufallsvariablen werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben geschrieben, z. B. für die Beobachtungen in einer Stichprobe: $x_1,x_2,\dots ,x_n$.
• Für die Bezeichnung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten werden Kleinbuchstaben benutzt, z. B. $f(x)$.
• Für die Bezeichnung von Verteilungsfunktionen werden Großbuchstaben benutzt, z. B. $F(x)$.
  • Speziell die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung wird die Bezeichnung $\phi (z)$ und für die Verteilungsfunktion $\mathrm{\Phi }(z)$ benutzt.
• Griechische Buchstaben (z. B. $\theta ,\beta$) werden benutzt, um unbekannte Parameter (Parameter der Grundgesamtheit) zu bezeichnen.
• Eine Schätzfunktion wird häufig mit einem Zirkumflex über dem entsprechenden Symbol bezeichnet, z. B. $\hat{\theta }$ (gesprochen: Theta Dach).
• Das arithmetische Mittel wird mit $\overline{x}$ bezeichnet (gesprochen: $x$ quer).

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Im Folgenden sei stets ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ gegeben. Darin ist der Ergebnisraum $\mathrm{\Omega }$ eine beliebige nichtleere Menge, $\mathrm{\Sigma }$ eine σ-Algebra von Teilmengen von $\mathrm{\Omega }$, die $\mathrm{\Omega }$ enthält, und $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathrm{\Omega }.$

Grundlagen

Axiome: Jedem Ereignis $A\in \mathrm{\Sigma }$ wird eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zugeordnet, so dass gilt:

$0\le P(A)\le 1$,

$P(\mathrm{\Omega })=1$,

für paarweise disjunkte Ereignisse $A_1,A_2,\dots$ gilt $P(A_1\cup A_2\cup \dots )=P(A_1)+P(A_2)+\dots$

Rechenregeln: Aus den Axiomen ergibt sich:

$P(\mathrm{\varnothing })=0$

Für $A\subset B$ gilt $P(B\setminus A)=P(B)-P(A)$, insbesondere $P(A)\le P(B)$

Für das Gegenereignis $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$ gilt $P(\bar{A})=1-P(A)$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Laplace-Experimente

$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A|B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Satz von Bayes:

$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(\bar{B})P(A|\bar{B})}$

Unabhängigkeit:

Zwei Ereignisse $A,B$ sind unabhängig $\iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Kombinatorik

Fakultät: Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen aller $n$ Kugeln aus einer Urne (ohne Zurücklegen):

$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1=n\cdot (n-1)!$

wobei $0!=1!=1$

	ohne Wiederholung (von n Elementen)   $(a,b,c)$	mit Wiederholung (von r + s + … + t = n Elementen, von denen jeweils r, s … t nicht unterscheidbar sind) $(a,a,b)$
Permutation $(a,b)\ne (b,a)$	$n!$	$\frac{(r+s+\dots +t)!}{r!\cdot s!\cdot \dots \cdot t!}=\frac{n!}{r!\cdot s!\cdot \dots \cdot t!}$

Binomialkoeffizient „n über k“

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von $k$ Kugeln aus einer Urne mit $n$ Kugeln:

	ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen) (siehe Hypergeometrische Verteilung) $(a,b,c)$ $\{a,b,c\}$	mit Wiederholung (mit Zurücklegen) (siehe Binomialverteilung) $(a,a,b)$ $\{a,a,b\}$
Variation $(a,b)\ne (b,a)$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot k!=\frac{n!}{(n-k)!}$	$n^k$
Kombination $\{a,b\}=\{b,a\}$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$	$\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!}$

Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsgrößen

Eine Funktion $f$ heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen $X$, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. Für alle $x\in \mathbb{Z}$ gilt $f(x)\ge 0$
2. $\sum _{x\in \mathbb{Z}}f(x)=1$

Für die zugehörige Zufallsvariable gilt dann:

$P(X=x)=f(x)$

Eine Zufallsgröße $X$ und deren Verteilung heißen diskret, falls die Funktion $f(x)=P(X=x)$ die Eigenschaft (2) hat. Man nennt $f(x)$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$.

$E(X)=\mu =\sum _{x\in \mathbb{Z}}x\cdot f(x)$

$E(g(X))=\sum _{x\in \mathbb{Z}}g(x)\cdot f(x)$

$V(X)={\sigma }^2=\sum _{x\in \mathbb{Z}}(x-\mu {)}^2\cdot f(x)$

Stetige Zufallsgrößen

Eine Funktion $f$ heißt Dichte(-Funktion) einer stetigen Zufallsvariablen $X$, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. Für alle $x\in ℝ$ gilt $f(x)\ge 0$
2. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1$

Für eine stetige Zufallsgröße gilt dann:

$P(a\le X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

Eine Zufallsgröße $X$ und deren Verteilung heißen stetig, falls es eine geeignete Dichtefunktion $f$ mit dieser Eigenschaft gibt. Die Funktion $f$ heißt Dichte(Funktion) von $X$.

Für die Wahrscheinlichkeit gilt

$P(X=a)=0$ für alle $a\in ℝ$

$P(a\le X\le b)=P(a<X\le b)=P(a\le X<b)=P(a<X<b)$

Erwartungswert und Varianz sind gegeben durch

$E(X)=\mu =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot f(x)\mathrm{d}x$

$E(g(X))=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)\cdot f(x)\mathrm{d}x$

$V(X)={\sigma }^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^2\cdot f(x)\mathrm{d}x$

Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation

Für den Erwartungswert $E(X)$, die Varianz $V(X)$, die Kovarianz $\mathrm{Cov}(X,Y)$ und die Korrelation $\varrho (X,Y)$ gelten:

$E(aX+b)=aE(X)+b$

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$, allgemein $E(\sum _{i=1}^n{X}_i)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)$

Für unabhängige Zufallsvariablen $X_i$ gilt: $E(\prod _{i=1}^n{X}_i)=\prod _{i=1}^{n}E(X_i)$

$V(X)=E((X-E(X){)}^2)=E(X^2)-E(X{)}^2$

$V(aX+b)=a^{2}V(X)$

Für unabhängige Zufallsvariablen $X_i$ gilt: $V(\sum _{i=1}^n{X}_i)=\sum _{i=1}^{n}V(X_i)$

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)$

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)$

$\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)$

$\mathrm{Cov}(aX+b,Y)=a\mathrm{Cov}(X,Y)$

$\mathrm{Cov}(X_1+X_2,Y)=\mathrm{Cov}(X_1,Y)+\mathrm{Cov}(X_2,Y)$

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$

$\varrho (X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}$

Tschebyschow-Ungleichung:

$P(|X-E(X)|\ge \alpha )\le \frac{V(x)}{{\alpha }^2}$

Spezielle Verteilungen

Binomialverteilung

Gegeben ist ein $n$-stufiger Bernoulli-Versuch (d. h. $n$ mal dasselbe Experiment, unabhängig voneinander, mit nur zwei möglichen Ausgängen und konstanten Wahrscheinlichkeiten) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und der Misserfolgswahrscheinlichkeit $q=1-p$. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge berechnet sich nach der Formel:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot q^{n-k}$

Erwartungswert:

$\mu =E(X)=n\cdot p$

Varianz:

${\sigma }^2=V(X)=n\cdot p\cdot q$

Standardabweichung:

$\sigma =\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{n\cdot p\cdot q}$

σ-Regeln

(Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen) Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen (falls $\sigma >3$):

Radius der Umgebung	Wahrscheinlichkeit der Umgebung
1σ	0,68
2σ	0,955
3σ	0,997

Wahrscheinlichkeit der Umgebung	Radius der Umgebung
0,90	1,64σ
0,95	1,96σ
0,99	2,58σ

Standardisieren einer Verteilung

Hat die Zufallsvariable $X$ eine Verteilung mit Erwartungswert $E(X)=\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, dann wird die standardisierte Variable $X^{*}$ definiert durch

$X^{*}=\frac{X-\mu }{\sigma }.$

Die standardisierte Variable $X^{*}$ hat den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1.

Poisson-Näherung

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem Stichprobenumfang $n$ ≥ 100 und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit $p\le 0,1$. Mithilfe von $\mu =n\cdot p$ kann man dann näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge berechnen:

$P(X=0)\approx e^{-\mu }$

$P(X=k)\approx \frac{\mu }{k}\cdot P(X=k-1)$

Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu:

$P(X=k)\approx \frac{{\mu }^k}{k!}\cdot e^{-\mu }$

Poisson-Verteilung

Gilt für die Verteilung einer Zufallsgröße $X$

$P(X=k)=\frac{{\mu }^k}{k!}\cdot e^{-\mu }$

Näherungsformeln von Moivre und Laplace

Sei $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit $\sigma >4$ (brauchbare Näherung besser $\sigma >9$). Die Wahrscheinlichkeit für genau und höchstens $k$ Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen durch:

$P(X=k)\approx \frac{1}{\sigma }\cdot \phi \left(\frac{k-\mu }{\sigma }\right)$

$P(X\le k)=F_X(k)\approx \phi \left(\frac{k-\mu }{\sigma }\right)$

Standardnormalverteilung

Die Dichte(Funktion) $\phi$ (auch als Glockenkurve bekannt) der Standardnormalverteilung ist definiert durch:

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{x}^2}$

und die Verteilungsfunktion $\mathrm{\Phi }$ durch:

$\mathrm{\Phi }(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}\phi (x)dx$

Näherungsformeln für eine diskrete Verteilung unter Anwendung der Kontinuitätkorrektur:

$P(X=k)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{k+0,5-\mu }{\sigma }\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{k-0,5-\mu }{\sigma }\right)$

$P(X\le k)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{k+0,5-\mu }{\sigma }\right)$

$P(a\le X\le b)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{b+0,5-\mu }{\sigma }\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{a-0,5-\mu }{\sigma }\right)$

Hypergeometrische Verteilung

In einer Grundgesamtheit vom Umfang $N$ seien zwei Merkmalsausprägungen vom Umfang $K$ bzw. $N-K$ vertreten. Eine Stichprobe vom Umfang $n$ werde genommen. Dann nennt man die Verteilung der Zufallsgröße $X$: Anzahl der Exemplare der 1. Merkmalsausprägung in der Stichprobe einer hypergeometrischen Verteilung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe vom Umfang $n$ genau $k$ Exemplare der 1. Merkmalsausprägung sind, ist:

$P(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$

$N$ = Anzahl der Elemente, $K$ = Anzahl der positiven Elemente, $n$ = Anzahl der Ziehungen, $k$ = Anzahl der Erfolge.

Sei $p=\frac{K}{N}$ der Anteil, mit dem die 1. Merkmalsausprägung in der Gesamtheit vorkommt, dann gilt:

$\mu =E(X)=n\cdot p=n\cdot \frac{K}{N}$

${\sigma }^2=V(X)=n\cdot p(1-p)\frac{N-n}{N-1}=n\cdot \frac{K}{N}(1-\frac{K}{N})\frac{N-n}{N-1}$

Geometrische Verteilung

Gegeben ist ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$. Die Verteilung der Zufallsgröße $W$: Anzahl der Stufen bis zum ersten Erfolg heißt geometrische Verteilung. Es gilt:

$P(W=k)=p\cdot q^{k-1}$ (Erfolg genau beim $k$-ten Versuch)

$P(W>k)=q^k$ ($k$ Misserfolge hintereinander bzw. der erste Erfolg kommt erst nach dem $k$-ten Versuch)

$P(W\le k)=1-q^k$ (Erfolg spätestens beim $k$-ten Versuch bzw. bis zum $k$-ten Versuch tritt mindestens ein Erfolg ein)

Der Erwartungswert ist

$E(W)=\frac{1}{p}$

Weitere

Die unzähligen weiteren speziellen Verteilungen können hier nicht alle aufgeführt werden, es sei auf die Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwiesen.

Approximationen von Verteilungen

Unter gewissen Approximationsbedingungen können Verteilungen auch durcheinander approximiert werden um Berechnungen zu vereinfachen. Je nach Lehrbuch können die Approximationsbedingungen etwas unterschiedlich sein.

	Nach
Von	$B(n,p)$	$Po(\lambda )$	$N(\mu ,\sigma )$
Diskrete Verteilungen
Binomialverteilung $B(n,p)$	--	$n>10,p<0,05$, $\lambda :=np$	$np(1-p)\ge 9$, $\mu :=np,{\sigma }^2:=np(1-p)$
Hypergeometrische Verteilung $Hyp(N,M,n)$	$\frac{n}{N}<0,05$ $p:=\frac{M}{N}$	$n>10$, $\frac{M}{N}<0,05$, $\lambda :=n\frac{M}{N}$	$n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\ge 9$ $\mu :=n\frac{M}{N},{\sigma }^2:=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}$
Poisson-Verteilung $Po(\lambda )$		--	$\lambda >9$, $\mu :=\lambda ,{\sigma }^2:=\lambda$
Stetige Verteilungen
Chi-Quadrat-Verteilung ${\chi }_n^2$			$n>30$ $\mu :=n,{\sigma }^2:=2n$
Studentsche t-Verteilung $t_n$			$n>30$ $\mu :=0,{\sigma }^2:=1$
Normalverteilung $N(\mu ,\sigma )$			--

Bei dem Übergang von einer diskreten Verteilung zu einer stetigen Verteilung kommt auch noch eine Stetigkeitskorrektur (wenn ${\sigma }^2\le 9$ oder $n\le 60$) in Betracht $P(a\le X_{\text{diskret}}\le b)\approx P(a-0,5\le X_{\text{stetig}}\le b+0,5)$ und insbesondere $P(X_{\text{diskret}}=a)\approx P(a-0,5\le X_{\text{stetig}}\le a+0,5)$.

Kritische Werte

Das $\alpha$-Level ist der Wert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für den gilt: $F(x_{\alpha })=\alpha$. Es gibt eine Standardnotation für einige häufig verwendete Verteilungen:

• $z_{\alpha }$ oder $z(\alpha )$ für die Standardnormalverteilung
• $t_{\alpha ,\nu }$ oder $t(\alpha ,\nu )$ für die t-Verteilung mit $\nu$ Freiheitsgraden
• ${\chi }_{\alpha ,\nu }^2$ oder ${\chi }^2(\alpha ,\nu )$ für die Chi-Quadrat-Verteilung mit $\nu$ Freiheitsgraden
• $F_{\alpha ,{\nu }_1,{\nu }_2}$ oder $F(\alpha ,{\nu }_1,{\nu }_2)$ für die F-Verteilung mit ${\nu }_1$ und ${\nu }_2$ Freiheitsgraden

Statistik

Beschreibende Statistik

Lagemaße

Arithmetisches Mittel: $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

Median

Modus

Streuungsmaße

empirische Varianz: $s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2=\frac{1}{n}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-{\overline{x}}^2$

empirische Standardabweichung: $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2}$

Zusammenhangsmaße

Empirische Kovarianz:

$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\frac{1}{n}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)-\overline{x}\overline{y},$

Empirischer Korrelationskoeffizient:

$r_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}}$

Gleichung der Regressionsgeraden einer linearen Einfachregression: $y=ax+b$ mit

$a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$

$b=\overline{y}-a\overline{x}$,

wobei $\overline{x}$ und $\overline{y}$ die arithmetischen Mittel bedeuten.

Mittelwerte

Mittelwert	Zwei Zahlen	Allgemein
Modus	Ausprägung mit höchster Häufigkeit
Median (Zentralwert)	Sofern $x_1,\dots ,x_n$ sortiert sind: ${\overline{x}}_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}}=\{\begin{array}{cc}{x}_{(\frac{n+1}{2})},& n\text{ ungerade,}\\ \frac{1}{2}(x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)}),& n\text{ gerade.}\end{array}$
Arithmetisches Mittel	$\frac{a+b}{2}$	${\overline{x}}_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$
Geometrisches Mittel	$\sqrt{ab}$	${\overline{x}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$
Harmonisches Mittel	$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$	${\overline{x}}_{\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{m}}=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$
Quadratisches Mittel	$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$	${\overline{x}}_{\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{r}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$

Schließende Statistik

Parameter

Im Allgemeinen werden in der Statistik unbekannte Parameter der Grundgesamtheit oder eines Modells mit griechischen Buchstaben (z. B. $\theta ,\beta$) bezeichnet.

• Das arithmetische Mittel in der Grundgesamtheit: $\mu$.
• Die Varianz in der Grundgesamtheit: ${\sigma }^2$.
• Den Anteilswert einer dichotomen Variablen in der Grundgesamtheit: $\pi$.
• Der Achsenabschnitt ${\beta }_0$ und die Steigung ${\beta }_1$ im einfachen linearen Regressionsmodell $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+U_i$.

Schätzfunktionen

Eine Schätzfunktion für einen unbekannten Parameter wird häufig durch einen Großbuchstaben der Parameterbezeichnung aus der beschreibenden Statistik bezeichnet. Die Schätzfunktion ergibt sich aus den Stichprobenvariablen $X_1,\dots ,X_n$.

Parameter	Bedingung	Schätzfunktion	Verteilung
$\mu$		$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$	1. $X_i\sim N(\mu ;{\sigma }^2)\Rightarrow \overline{X}\sim N(\mu ;{\sigma }^2/n)$ 2. Wenn der zentrale Grenzwertsatz gilt, dann gilt $\overline{X}\approx N(\mu ;{\sigma }^2/n)$
${\sigma }^2$	$\mu$ bekannt	$S^{*2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$	$X_i\sim N(\mu ;{\sigma }^2)\Rightarrow \frac{n{S}^{*2}}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_n^2$
${\sigma }^2$	$\mu$ unbekannt	$S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$	$X_i\sim N(\mu ;{\sigma }^2)\Rightarrow \frac{(n-1)S_n^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2$
$\pi$		$\mathrm{\Pi }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$	1. Ziehen mit Zurücklegen: $\mathrm{\Pi }\sim B(n;\pi )$ 2. Ziehen ohne Zurücklegen: $\mathrm{\Pi }\sim Hyp(N;M;n)$     mit $M=\pi \cdot N$ und $N$ der Umfang der Grundgesamtheit.
${\beta }_0$, ${\beta }_1$		$B_k=\sum _{i=1}^n{Y}_i{w}_i^{(k)}(x_1,\dots ,x_n)$	Wenn $U_i\sim N(0;{\sigma }_u^2)$, dann folgt $B_k\sim N({\beta }_k;{\sigma }_{B_k}^2)$

Punktschätzer und Konfidenzintervalle

Parameter	Punktschätzer	$1-\alpha$ Konfidenzintervall
$\mu$	$\hat{\mu }=\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$	1. Wenn $\sigma$ bekannt: $[\overline{X}-z_{1-\alpha /2}\sigma /\sqrt{n};\overline{X}+z_{1-\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}]$
		2. Wenn $\sigma$ unbekannt: $[\overline{X}-t_{n-1;1-\alpha /2}S/\sqrt{n};\overline{X}+t_{n-1;1-\alpha /2}S/\sqrt{n}]$
${\sigma }^2$	${\hat{\sigma }}^2=s_n^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$
$\pi$	$\hat{\pi }=p=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$	1. Ziehen mit Zurücklegen: Wenn $\mathrm{\Pi }\approx N(\pi ;\frac{\pi (1-\pi )}{n})$, dann gilt approximativ: $[\mathrm{\Pi }-z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}};\mathrm{\Pi }+z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}}]$
		2. Ziehen ohne Zurücklegen: Wenn $\mathrm{\Pi }\approx N(\pi ;\frac{\pi (1-\pi )}{n}\frac{N-n}{N-1})$, dann gilt approximativ: $[\mathrm{\Pi }-z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}\frac{N-n}{N-1}};\mathrm{\Pi }+z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}\frac{N-n}{N-1}}]$
		Bei der Berechnung eines Schätzintervalls mittels einer Stichprobe in 1. und 2. wird $\pi$ durch $p$ ersetzt.

Weblinks

• Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics