Jacobson-Radikal

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings $R$ ein Ideal von $R$, das Elemente von $R$ enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-Moduln

Im Folgenden sei $R$ ein Ring mit Eins und $M$ ein R-Linksmodul.

Definition

Der Durchschnitt aller maximalen $R$-Untermoduln von $M$ wird als (Jacobson-)Radikal ${\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}}_R(M)$ (oder kurz $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M)$) bezeichnet.

Ist $M$ endlich erzeugt, so gilt: $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M)=\{x\in M|x\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{n}M\}$. Dabei heißt ein Element $x$ von $M$ überflüssig, wenn für jeden Untermodul $N\subset M$ gilt: Aus $M=N+Rx$ folgt bereits $M=N$.

Eigenschaften

• Ist $M$ endlich erzeugt und $N\subset M$ ein Untermodul von $M$ mit $M=N+\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M)$, dann ist bereits $M=N$. Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
• Ist $M$ endlich erzeugt und $M=0$, dann ist $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M)=M$. (Dies ist der Spezialfall $N=0$ der vorigen Aussage.)
• $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M)=0$ gilt genau dann, wenn $M$ isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher $R$-Moduln ist.
• $M$ ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn $M$ artinsch und $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M)=0$ ist.

Jacobson-Radikal von Ringen

Im Folgenden sei $R$ ein Ring mit Eins.

Definition

Das Jacobson-Radikal des Ringes $R$ wird als das Jacobson-Radikal des $R$-Linksmoduls $R$ definiert. Es wird als $J(R)$ notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

• als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
• als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links-$R$-Moduln / Rechts-$R$-Moduln
• $\{x\in R\mid \mathrm{\forall }y\in R:1-xy\in R^{\times }\}$
• $\{x\in R\mid \mathrm{\forall }y,z\in R:1-zxy\in R^{\times }\}$
• $\{x\in R\mid \mathrm{\forall }z\in R:1-zx\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\}$

Eigenschaften

• Der Ring $R$ ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und $J(R)=0$ ist.
• Für jeden linksartinschen Ring $R$ ist der Ring $R/J(R)$ halbeinfach.
• Ist $R$ linksartinsch, dann gilt für jeden $R$-Linksmodul $M$: $J(R)M=\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}(M)$.
• $J(R)$ ist das kleinste Ideal $I$ von $R$ mit der Eigenschaft, dass $R/I$ halbeinfach ist.
• Ist $N$ ein Nillinksideal von $R$, dann gilt: $N\subseteq J(R)$.
• Ist $R$ linksartinsch, dann ist $J(R)$ ein nilpotentes Ideal.
• Ist $R$ linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
• Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring $R\ne \{0\}$ die Existenz maximaler Ideale, für $R\ne \{0\}$ gilt also $J(R)\ne R$.

Beispiele

• Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist $\{0\}$; ebenso das Jacobson-Radikal von $\mathbb{Z}$.
• Das Jacobson-Radikal von $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ ist $6\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$.
• Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen $n\times n$-Dreiecksmatrizen über einem Körper $K$ enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
• Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
• Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.

Literatur

• Vorlage:EoM