Lemma von Nakayama

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra:

Es sei $M$ ein endlich erzeugter nichttrivialer $R$-Modul und $𝔞$ ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von $R$ liegt. Dann ist $𝔞M\ne M$.

Beweis

Wir nehmen $𝔞M=M$ an. Es sei $\{u_1,\dots ,u_n\}$ ein minimales Erzeugendensystem von $M$. Da $M$ nichttrivial ist, folgt $n\ge 1$ und $u_n=0$.

Da nach Annahme $u_n\in 𝔞M$, gäbe es dann eine Gleichung der Form $u_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{u}_i$ mit $a_i\in 𝔞$, also $(1-a_n)u_n=\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i{u}_i$.

Da $a_n$ im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor $1-a_n$ eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

Folgerungen

• Ist $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, $N$ ein Untermodul und $𝔞\subset J(R)$ ein Ideal, so gilt

$M=𝔞M+N\Rightarrow M=N$.

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird, kann man zum Heben von Basen verwenden:

• Es seien $R$ ein lokaler Ring, $𝔪$ sein maximales Ideal und $\kappa :=R/𝔪$ der Restklassenkörper.

Sind dann $x_1,\dots ,x_n$ Urbilder einer Basis des $\kappa$-Vektorraums $M/𝔪M$, so erzeugen die $x_i$ den Modul $M$.