Quadratfreie Zahl

Vorlage:Weiterleitungshinweis Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung $n=p_1\cdots p_k$ einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·3²·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, … (Vorlage:OEIS)

Eigenschaften

Die Möbiusfunktion $\mu (n)$ an der Stelle $n$ ist genau dann ungleich 0, wenn $n$ quadratfrei ist.

Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt sofort, dass eine endliche abelsche Gruppe mit quadratfreier Ordnung stets zyklisch ist.

Eine Zahl $n$ ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist $\frac{1}{\zeta (2)}=\frac{6}{{\pi }^2}\approx 61\mathrm{\%}$, wobei $\zeta$ die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus $\{1,\dots ,N\}$ gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für $N\to \mathrm{\infty }$ gegen $\frac{1}{\zeta (2)}$.

Allgemeine Definition

Ein von 0 verschiedenes Element $x$ eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung $x=\epsilon \cdot p_1^{{\alpha }_1}\cdot \dots \cdot p_k^{{\alpha }_k}$ (wobei $\epsilon$ eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten ${\alpha }_i$ gleich 1 sind.

Es sei $P(x)\in K[X]$ und $P^{\prime }(x)$ die formale Ableitung, dann ist $P(x)$ quadratfrei, wenn $\text{ggT}(P(x),P^{\prime }(x))=1$ ist. Somit ist für beliebiges $P(x)$ das Polynom $P(x)/\text{ggT}(P(x),P^{\prime }(x))$ immer quadratfrei.

Literatur

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Weblinks

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