Punktierter topologischer Raum

Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,x₀), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x₀ in X (Grundpunkt, Basispunkt, ausgezeichneter Punkt). Eine punktierte (stetige) Abbildung (X,x₀) → (Y,y₀) ist eine stetige Abbildung X → Y, die x₀ auf y₀ abbildet.

Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.

Ist die Inklusion $\{x_0\}\hookrightarrow X$ eine Kofaserung, so spricht man von einem wohlpunktierten Raum.

Ein topologischer Raum heißt homogen, wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.

Kategorielle Eigenschaften

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kommakategorie $\{\star \}\downarrow \mathrm{Top}$. Sie besitzt Nullobjekte (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). Produkte sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, Koprodukte sind Ein-Punkt-Vereinigungen, also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben $X\vee Y$.

Homotopieklassen punktierter Abbildungen

Zwei punktierte Abbildungen

$f,g:(X,x_0)\to (Y,y_0)$

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung $H:X\times [0,1]\to Y$ mit

$H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)\mathrm{\forall }x\in X$

$H(x_0,t)=y_0\mathrm{\forall }t\in [0,1]$

gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit $[X,Y]$ bezeichnet.