Formelsammlung analytische Geometrie

Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet analytische Geometrie.

Vorbemerkungen zur Schreibweise

Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten $x_1$ (gleichwertig zu $x$), $x_2$ (gleichwertig zu $y$), $x_3$ (gleichwertig zu $z$) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch $\cdot$ ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch $\times$.

Analytische Geometrie der euklidischen Ebene

Bezeichnungen

Im Folgenden habe der Punkt $P$ die Koordinaten $(p_1,p_2)$; die Punkte $A,B,C$ in dieser Reihenfolge $(a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c_2)$

Punkte

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung eines Punktes

$P(p_1|p_2)$ oder $P(p_1,p_2)$

Ortsvektor des Punktes $P(p_1|p_2)$:

$\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)$

Verbindungsvektor zweier Punkte $A,B$:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\end{array}\right)$

Mittelpunkt der Strecke $AB$ (als Ortsvektor):

$\overrightarrow{M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)$

Teilungspunkt : Der Punkt, der die Strecke $AB$ im Verhältnis $\lambda$ teilt:

$\overrightarrow{T}=\frac{1}{1+\lambda }(\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{B})=\frac{1}{1+\lambda }\left(\begin{array}{c}{a}_1+\lambda b_1\\ a_2+\lambda b_2\end{array}\right)$

Schwerpunkt eines Dreiecks $ABC$:

$\overrightarrow{S}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1+c_1\\ a_2+b_2+c_2\end{array}\right)$

Geraden

Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt $A(a_1|a_2)$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$:

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$

Der Parameter $\lambda$ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und $\overrightarrow{u}$ darf nicht der Nullvektor sein.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte $A,B$:

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda (\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\end{array}\right)$

Der Parameter $\lambda$ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und .$A$ und $B$ müssen verschieden sein.

Normalengleichung der Geraden durch den Punkt $A$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\end{array}\right)$ in vektorieller Schreibweise:

$\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})=0$ bzw. $\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1-a_1\\ x_2-a_2\end{array}\right)=0$

Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung $m$ durch den Punkt $(0|t)$ der $x_2$-Achse:

$x_2=m{x}_1+t$

Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur $x_2$-Achse sein.

Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte $(s|0)$ (auf der $x_1$-Achse) und $(0|t)$ (auf der $x_2$-Achse):

$\frac{x_1}{s}+\frac{x_2}{t}=1$

Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss $s\ne 0$ und $t\ne 0$ gelten.

Abstände

Abstand der Punkte $A,B$:

$\overline{AB}=|\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}|=\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2}$

Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ mit der Normalengleichung $n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_0=0$ (siehe Hessesche Normalform):

$d(P,g)=\frac{|n_1{p}_1+n_2{p}_2+n_0|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2}}$

Abstand zweier paralleler Geraden $g$ und $g^{\prime }$ mit den Normalengleichungen $n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_0=0$ bzw. $n_1{x}_1+n_2{x}_2+{n_0}^{\prime }=0$:

$d(g,g^{\prime })=\frac{|n_0-{n_0}^{\prime }|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2}}$

Projektionen

Orthogonalprojektion eines Punkts $B$ auf eine Gerade $g$ in Parameterform $\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}$:

${\overrightarrow{P}}_g=\overrightarrow{A}+\frac{(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{u}}{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}\overrightarrow{u}$

Orthogonalprojektion eines Punkts $B$ auf eine Gerade $g$ in Normalenform $(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}=0$:

${\overrightarrow{P}}_g=\overrightarrow{B}-\frac{(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}}\overrightarrow{n}$

Parallelprojektion in Richtung $\overrightarrow{v}$ eines Punkts $B$ auf eine Gerade $g$ in Normalenform $(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}=0$:

${\overrightarrow{P}}_{g,\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{B}-\frac{(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}\overrightarrow{v}$

Winkel

Schnittwinkel (kleinerer Winkel) $ϵ$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ (vergleiche Skalarprodukt):

$\cos ϵ=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{|u_1{v}_1+u_2{v}_2|}{\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2}}$

Flächen

Fläche des Dreiecks $ABC$ (siehe Kreuzprodukt):

$\begin{array}{cc}{F}_{ABC}& =\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\times (\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A})|\\ & =\frac{1}{2}|(a_1{b}_2-a_2{b}_1)+(b_1{c}_2-b_2{c}_1)+(c_1{a}_2-c_2{a}_1)|\end{array}$

Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken $P_1(p_{11}|p_{12}),\dots ,P_n(p_{n1}|p_{n2})$:

$\begin{array}{cc}A=|\frac{1}{2}\cdot & (p_{11}{p}_{22}+p_{21}{p}_{32}+\cdots +p_{n-1,1}{p}_{n2}+p_{n1}{p}_{12}\\ & -p_{21}{p}_{12}-p_{31}{p}_{22}-\cdots -p_{n1}{p}_{n-1,2}-p_{11}{p}_{n2})|\end{array}$

Kreise

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:

• des Einheitskreises

${x_1}^2+{x_2}^2=1$

• allgemein: Mittelpunkt in $(c,d)$, Radius $r$

$(x-c{)}^2+(y-d{)}^2=r^2$

in Parameterform (allgemein):

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos t+c\\ r\sin t+d\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 2\pi$

Gleichung des Kreises durch drei Punkte $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)$

$\left|\begin{array}{cccc}{x}^2+y^2& x& y& 1\\ x_1^2+y_1^2& x_1& y_1& 1\\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2& 1\\ x_3^2+y_3^2& x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0$

Gleichung der Kreistangente im Punkt $B(b_1|b_2)$

• Einheitskreis

  $b_1{x}_1+b_2{x}_2=1$

• Allgemein:

  $(x-c)(b_1-c)+(y-d)(b_2-d)=r^2$

Schnittpunkt der Geraden $y=mx+c$ mit dem Kreis $x^2+y^2=r^2$:

$x_{1,2}=-\frac{cm}{1+m^2}\pm \frac{1}{1+m^2}\sqrt{r^2(1+m^2)-c^2}$

$y_{1,2}=\frac{c}{1+m^2}\pm \frac{m}{1+m^2}\sqrt{r^2(1+m^2)-c^2}$

Mittelpunkt $\overrightarrow{X}$ des Kreises durch drei Punkte $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)$ die nicht auf einer Geraden liegen:

$\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\frac{1}{2}{\left(\begin{array}{cc}{x}_1-x_3& y_1-y_3\\ x_2-x_3& y_2-y_3\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{P}}_1\cdot {\overrightarrow{P}}_1-{\overrightarrow{P}}_3\cdot {\overrightarrow{P}}_3\\ {\overrightarrow{P}}_2\cdot {\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_3\cdot {\overrightarrow{P}}_3\end{array}\right)$

Kegelschnitte

Kegelschnitt	Ellipse	Hyperbel	Parabel
Eigenschaften
Definition: Menge aller Punkte, für die …	die Summe der Abstände zu den Brennpunkten $F_1,F_2$ konstant gleich 2a ist.	die Differenz der Abstände den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist.	der Abstand zu einem Brennpunkt und der Leitgeraden l konstant ist.
Lineare Exzentrizität	$\sqrt{a^2-b^2}$	$\sqrt{a^2+b^2}$	--
Koordinaten
Kartesische Koordinaten	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$y^2=2px$
Achsenparallele Lage $M(c,d)$	$\frac{(x-c{)}^2}{a^2}+\frac{(y-d{)}^2}{b^2}=1$	$\frac{(x-c{)}^2}{a^2}-\frac{(y-d{)}^2}{b^2}=1$	$(y-d{)}^2=2p(x-c)$
Parameterform	$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cos t\\ b\sin t\end{array}\right)$ mit $0\le t\le 2\pi$	$x=\frac{a}{\cos (t)};y=\pm b\tan (t)$ $x=\pm a\cosh (t);y=b\sinh (t)$
Geraden
Tangente in $P_1(p_1,p_2)$	$\frac{x{p}_1}{a^2}+\frac{y{p}_2}{b^2}=1$	$\frac{x{p}_1}{a^2}-\frac{y{p}_2}{b^2}=1$	$y{p}_2=p(y+p_2)$
Normale durch $P_1(p_1,p_2)$	$y-p_2=\frac{a^2{p}_2}{b^2{p}_1}(x-p_1)$	$y-p_2=-\frac{a^2{p}_2}{b^2{p}_1}(x-p_1)$	$y-p_2=-\frac{p_2}{p}(x-p_1)$
Schnittpunkt mit der Geraden $y=mx+C$	$x_{1,2}=a^{2}m\alpha \pm \beta \cdot \sqrt{D}$ $y_{1,2}=b^2\alpha \pm m\beta \cdot \sqrt{D}$ $\alpha :=\frac{C}{b^2+a^2{m}^2};\beta :=\frac{ab}{b^2+a^2{m}^2};$ $D:=a^2{m}^2+b^2-C^2$	$x_{1,2}=a^{2}m\alpha \pm \beta \cdot \sqrt{D}$ $y_{1,2}=b^2\alpha \pm m\beta \cdot \sqrt{D}$ $\alpha :=\frac{C}{b^2-a^2{m}^2};\beta :=\frac{ab}{b^2-a^2{m}^2}$ $D:=b^2+c^2-a^2{m}^2$	$x_{1,2}=\frac{p-Cm}{m^2}\pm \frac{1}{m^2}\cdot \sqrt{D}$ $y_{1,2}=\frac{p}{m}\pm \frac{1}{m}\cdot \sqrt{D}$ $D:=p\cdot (p-2mC)$
Flächeninhalt

Ebene Kurven mit ausgezeichneter Krümmung

Da die geometrische Form einer ebenen Kurve unter Translation und Drehung invariant bleibt, kann eine ausgezeichnete (symmetrische) Darstellung ihrer analytischen Beschreibung gewählt werden. Insbesondere ist somit jede ebene, zweimal stetig differenzierbare Kurve bereits durch Angabe ihrer Krümmung (in jedem Punkt) eindeutig beschrieben. In den folgenden Formeln sind $a,b\in {ℝ}^{+}$ beliebige, aber feste Konstanten und $s$ bezeichnet stets die Bogenlänge (bei natürlicher Parametrisierung).

Kurve	Definitionsbereich	analytische Funktionsgleichung		Krümmung $\kappa$	Charakterisierung ihrer Krümmung
Gerade	$x\in ℝ$ $s\in ℝ$	$y(x)=ax$ $\left(\begin{array}{c}r(s)\\ \phi (s)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s\\ b\end{array}\right)$	explizit kartesisch explizit polar parametrisch	$0$	null
Kreis	$\phi \in [0,2\pi ]$	$r(\phi )=a$	explizit polar	$\frac{1}{a}$	konstant
gleichseitige Hyperbel	$\phi \in ]-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}[$	$r(\phi {)}^2=\frac{2a^2}{\cos (2\phi )}$	implizit polar	$-\frac{1}{r}$	umgekehrt proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Lemniskate	$\phi \in [-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$	$r(\phi {)}^2=2a^2\cos (2\phi )$	implizit polar	$\frac{3r}{2a^2}$	proportional zum vorzeichenbehafteten „Abstand“
Logarithmische Spirale	$\phi \in ℝ$	$r(\phi )=a{e}^{b\phi }$	explizit polar	$\frac{1}{r\sqrt{1+b^2}}$ $\frac{1}{bs}$	umgekehrt proportional zum Abstand umgekehrt proportional zur Bogenlänge
Klothoide	$s\in ℝ$	$\left(\begin{array}{c}x(s)\\ y(s)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{C}_b(s)\\ S_b(s)\end{array}\right)$	kartesisch parametrisch	$2bs$	proportional zu ihrer Bogenlänge
Katenoide	$x\in ℝ$	$y(x)=a\cosh (\frac{x}{a})$ $s(x)=a\sinh (\frac{x}{a})$	explizit kartesisch	$\frac{a}{y^2}$ $\frac{a}{a^2+s^2}$	umgekehrt proportional zum Quadrat ihres x-Achsenabstandes
Kreisevolvente	$s\in {ℝ}_0^{+}$	$\left(\begin{array}{c}r(s)\\ \phi (s)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\sqrt{1+2s}\\ \sqrt{2s}-\arctan (\sqrt{2s})\end{array}\right)$	explizit polar parametrisch	$\frac{1}{a\sqrt{2s}}$	umgekehrt proportional zur Wurzel ihrer Bogenlänge

Hier bezeichnen $C_b(x)$ und $S_b(x)$ die Fresnelschen Integrale.

Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes

Bezeichnungen

Im Folgenden haben die Punkte $X,P,A,B,C$ in dieser Reihenfolge die Koordinaten $(x_1,x_2,x_3),(p_1,p_2,p_3),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_2),(c_1,c_2,c_3)$.

Punkte

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung

$P(p_1|p_2|p_3)$

Ortsvektor

$\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)$

Verbindungsvektor zweier Punkte $AB$:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)$

Mittelpunkt der Strecke $AB$:

$\overrightarrow{M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)$

Teilungspunkt , der die Strecke $AB$ im Verhältnis $\lambda$ teilt:

$\overrightarrow{T}=\frac{1}{1+\lambda }(\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{B})=\frac{1}{1+\lambda }\left(\begin{array}{c}{a}_1+\lambda b_1\\ a_2+\lambda b_2\\ a_3+\lambda b_3\end{array}\right)$

Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken $A,B,C$:

$\overrightarrow{S}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1+c_1\\ a_2+b_2+c_2\\ a_3+b_3+c_3\end{array}\right)$

Geraden

Parametergleichung einer Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt $A$ mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$:

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$

Der Parameter $\lambda$ kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und $\overrightarrow{u}$ darf nicht der Nullvektor sein.

Ebenen

Parametergleichung der Ebene (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt $A$ mit den Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$:

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$

Die Parameter $\lambda$ und $\mu$ können alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ müssen linear unabhängig sein (d. h. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne 0$ und $\overrightarrow{u}$ ist kein skalares Vielfaches von $\overrightarrow{v}$)

Parametergleichung einer Ebene (Drei-Punkte-Form) durch die Punkte $A,B,C$:

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda (\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})+\mu (\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A})=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}{c}_1-a_1\\ c_2-a_2\\ c_3-a_3\end{array}\right)$

Die beiden Parameter $\lambda$ und $\mu$ können alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte $A,B$ und $C$ dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Normalengleichung der Ebene durch den Punkt $A$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)\ne 0$ in vektorieller Schreibweise:

$\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})=0$ bzw. $\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1-a_1\\ x_2-a_2\\ x_3-a_3\end{array}\right)=0$

Koordinatengleichung

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=d$ mit $a,b,c$ nicht alle gleich 0.

Überführen der Formen ineinander

• Parameterform in Normalenform:

  $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$

• Normalenform und Koordinatengleichung:

  Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Explizit: $a=n_1,b=n_2,c=n_3$ und $d=n_1{a}_1+n_2{a}_2+n_3{a}_3$.

• Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:

  $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$ definiert drei Gleichungen; man löse eine davon nach $\lambda$ und eine andere nach $\mu$ auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein.

• Von der Koordinatengleichung zur Parameterform:

  Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein. Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz: Da $a,b,c$ nicht alle gleich 0 sind (sagen wir $c\ne 0$), lässt sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflösen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen: $x_3(x_1,x_2)=\frac{1}{c}(d-a{x}_1-b{x}_2)$. Man findet nun drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene, indem man nacheinander $(x_1,x_2)=(0,0)$, $(x_1,x_2)=(1,0)$ und $(x_1,x_2)=(0,1)$ einsetzt. D. h. explizit setzt man

  $\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ x_3(0,0)\end{array}\right)$, $\overrightarrow{B}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ x_3(1,0)\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{C}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ x_3(0,1)\end{array}\right)$

  in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein.

Abstände

Abstand der Punkte $A,B$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=|\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}|=\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2+(b_3-a_3{)}^2}$

Abstand des Punkts $P$ von der Geraden $g$ in Parameterform $\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}$:

$d(P,g)=\frac{|(\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A})\times \overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{u}|}$

Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $ϵ$ mit der Normalengleichung $n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+n_0=0$ (siehe Hessesche Normalform):

$d(P,ϵ)=\frac{|n_1{p}_1+n_2{p}_2+n_3{p}_3+n_0|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}$

Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $ϵ$ in Parameterform $\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$:

$d(P,ϵ)=\frac{|(\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A})\cdot (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})|}{|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|}$

Abstand der parallelen Ebenen $ϵ$ und ${ϵ}^{\prime }$ mit den Normalengleichungen $n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+n_0=0$ bzw. $n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+{n_0}^{\prime }=0$:

$d(ϵ,{ϵ}^{\prime })=\frac{|n_0-{n_0}^{\prime }|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}$

Projektionen

Orthogonalprojektion eines Punkts $B$ auf eine Gerade $g$ in Parameterform $\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \overrightarrow{u}$:

${\overrightarrow{P}}_g=\overrightarrow{A}+\frac{(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{u}}{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}\overrightarrow{u}$

Orthogonalprojektion eines Punkts $B$ auf eine Ebene $ϵ$ in Normalenform $(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}=0$:

${\overrightarrow{P}}_{ϵ}=\overrightarrow{B}-\frac{(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}}\overrightarrow{n}$

Parallelprojektion in Richtung $\overrightarrow{v}$ eines Punkts $B$ auf eine Ebene $ϵ$ in Normalenform $(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}=0$:

${\overrightarrow{P}}_{ϵ,\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{B}-\frac{(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A})\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}\overrightarrow{v}$

Winkel

Schnittwinkel (kleinerer Winkel) $ϵ$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$:

$\cos ϵ=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{|u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3|}{\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}}$

Schnittwinkel $ϵ$ zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ und einer Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$:

$\sin ϵ=\frac{|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{|n_1{u}_1+n_2{u}_2+n_3{u}_3|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}}$

Schnittwinkel $ϵ$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{m}$ und $\overrightarrow{n}$:

$\cos ϵ=\frac{|\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{|m_1{n}_1+m_2{n}_2+m_3{n}_3|}{\sqrt{{m_1}^2+{m_2}^2+{m_3}^2}\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}$

Volumina

Volumen des Tetraeders $P_0{P}_1{P}_2{P}_3$ (vergleiche Spatprodukt): ($\overrightarrow{a}:=\overrightarrow{P_0{P}_1},\overrightarrow{b}:=\overrightarrow{P_0{P}_2},\overrightarrow{c}:=\overrightarrow{P_0{P}_3}$)

$V=|\frac{1}{6}[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]|=\left|\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|\right|$

Kugeln

Kartesische Koordinaten

• Einheitskugel:

  ${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2=1$

• Allgemein: (Mittelpunkt: $(a,b,c)$)

  $(x_1-a{)}^2+(x_2-b{)}^2+(x_3-c{)}^2=r^2$

Parameterform (im Ursprung)

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\sin \vartheta \cos \phi \\ r\sin \vartheta \sin \phi \\ r\cos \vartheta \end{array}\right)$ mit $0\le \vartheta \le \pi$ und $0\le \phi \le 2\pi$

Mittelpunkt $\overrightarrow{X}$ der Kugel durch vier Punkte $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\overrightarrow{C}$ und $\overrightarrow{P}$, die nicht in einer Ebene liegen:

$\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\frac{1}{2}{\left(\begin{array}{ccc}{a}_1-p_1& a_2-p_2& a_3-p_3\\ b_1-p_1& b_2-p_2& b_3-p_3\\ c_1-p_1& c_2-p_2& c_3-p_3\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{A}-\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{P}\\ \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{B}-\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{P}\\ \overrightarrow{C}\cdot \overrightarrow{C}-\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{P}\end{array}\right)$

Flächen zweiter Ordnung

Ellipsoid mit den Halbachsen $a,b,c$, Mittelpunkt im Ursprung, Halbachsen parallel zur $x_1,x_2$ bzw. $x_3$-Achse:

$\frac{{x_1}^2}{a^2}+\frac{{x_2}^2}{b^2}+\frac{{x_3}^2}{c^2}=1$

Hyperboloid mit Halbachsen $a,b,c$:

$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}-\frac{x_3^2}{c^2}=1$

Paraboloid mit Scheitel im Ursprung:

$\frac{x_1^2}{a^2}\pm \frac{x_2^2}{b^2}-2z=0$

Plus liefert ein elliptisches, minus ein hyperbolisches Paraboloid.

Kegel mit Halbachsen $a,b$ der Ellipse, Spitze im Ursprung:

$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}-\frac{x_3^2}{c^2}=0$