Mollweidesche Formeln

Originalpublikation aus dem Jahr 1808

Die mollweideschen Formeln, benannt nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen Carl Brandan Mollweide, sind trigonometrische Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten.

Formeln

Bezeichnungen der Seiten und Winkel

$(b+c)\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=a\cdot \cos \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)$

$(b-c)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=a\cdot \sin \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)$

$(c+a)\cdot \sin \left(\frac{\beta }{2}\right)=b\cdot \cos \left(\frac{\gamma -\alpha }{2}\right)$

$(c-a)\cdot \cos \left(\frac{\beta }{2}\right)=b\cdot \sin \left(\frac{\gamma -\alpha }{2}\right)$

$(a+b)\cdot \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)=c\cdot \cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$

$(a-b)\cdot \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)=c\cdot \sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$

Herleitungen

Algebraisch anhand trigonometrischer Identitäten

Sinussatz:

$\frac{b}{a}=\frac{\sin (\beta )}{\sin (\alpha )}$ (1)

$\frac{c}{a}=\frac{\sin (\gamma )}{\sin (\alpha )}$ (2)

Sinusidentitäten:

$\sin (\beta )+\sin (\gamma )=2\cdot \sin \left(\frac{\beta +\gamma }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)$ (3)

$\sin (\beta )-\sin (\gamma )=2\cdot \cos \left(\frac{\beta +\gamma }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)$ (4)

Sinus-Additionstheorem für Doppelwinkel:

$\sin (\alpha )=\sin (2\cdot \frac{\alpha }{2})=2\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (5)

Winkelsumme im Dreieck und Übergang zum Komplementärwinkel:

$\sin \left(\frac{\beta +\gamma }{2}\right)=\sin \left(\frac{180^{\circ }-\alpha }{2}\right)=\sin (90^{\circ }-\frac{\alpha }{2})=\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (6)

$\cos \left(\frac{\beta +\gamma }{2}\right)=\cos \left(\frac{180^{\circ }-\alpha }{2}\right)=\cos (90^{\circ }-\frac{\alpha }{2})=\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (7)

Addition von (1) und (2), Anwendung von (3) und (5), Kürzen unter Verwendung von (6):

$\frac{b+c}{a}=\frac{\sin (\beta )+\sin (\gamma )}{\sin (\alpha )}=\frac{2\cdot \sin \left(\frac{\beta +\gamma }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)}{2\cdot \sin (\frac{\alpha }{2})\cdot \cos (\frac{\alpha }{2})}=\frac{\cos \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)}{\sin (\frac{\alpha }{2})}$

Subtraktion von (1) - (2), Anwendung von (4) und (5), Kürzen unter Verwendung von (7):

$\frac{b-c}{a}=\frac{\sin (\beta )-\sin (\gamma )}{\sin (\alpha )}=\frac{2\cdot \cos \left(\frac{\beta +\gamma }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)}{2\cdot \sin (\frac{\alpha }{2})\cdot \cos (\frac{\alpha }{2})}=\frac{\sin \left(\frac{\beta -\gamma }{2}\right)}{\cos (\frac{\alpha }{2})}$

Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner ergibt die angegebenen Formeln. Die anderen beiden Formeln, die eine Summe bzw. eine Differenz zweier Seiten enthalten, entstehen durch zyklische Substitution der Seiten- und Winkelbezeichnungen.

Geometrisch

Bezeichnungen der Seiten und Winkel

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}AFB$ gilt $|FB|=c\cdot \sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ und im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}EFB$ zudem $|FB|=(a-b)\cdot \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)$. Damit ergibt sich:

$(a-b)\cdot \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)=c\cdot \sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$

Betracht man die Strecke $AF$, so gilt für deren Länge:

$\begin{array}{cc}|AF|& =|AD|+|DE|+|EF|\\ & =b\cdot \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)+b\cdot \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)+(a-b)\cdot \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)\\ & =(a+b)\cdot \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)\\ \end{array}$

Im rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}AFB$ gilt aber auch $|AF|=c\cdot \cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$, damit ergibt sich insgesamt:

$(a+b)\cdot \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)=c\cdot \cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$

Verallgemeinerung

Ein Sehnenviereck mit den Innenwinkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ und dem Winkel $\mathrm{\angle }CED=\theta$.

Eine Verallgemeinerung der mollweideschen Formeln gilt für Sehnenvierecke. Sei $◻ABCD$ ein Sehnenviereck mit den Seitenlängen $|AB|=a$, $|BC|=b$, $|CD|=c$ und $|DA|=d$ und den Innenwinkeln $\mathrm{\angle }DAB=\alpha$, $\mathrm{\angle }ABC=\beta$, $\mathrm{\angle }BCD=\gamma$ und $\mathrm{\angle }CDA=\delta$. Außerdem sei $E$ der Schnittpunkt der Diagonalen und $\mathrm{\angle }CED=\theta$ der anliegende Winkel im Dreieck $\mathrm{△}CED$. Dann gilt

$\begin{array}{cc}\frac{a+c}{b+d}& =\frac{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}{\cos \frac{\gamma -\delta }{2}}\cdot \tan \frac{\theta }{2}\\ \frac{a-c}{b-d}& =\frac{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}{\sin \frac{\delta -\gamma }{2}}\cdot \cot \frac{\theta }{2}\\ \end{array}$

Daraus ergeben sich einige Varianten dieser Formeln:

$\begin{array}{c}\sin \frac{\alpha +\beta }{2}=\phantom{-}\cos \frac{\beta -\gamma }{2}=\phantom{-}\sin \frac{\gamma +\delta }{2}=\cos \frac{\delta -\alpha }{2}\\ \cos \frac{\alpha +\beta }{2}=-\sin \frac{\beta -\gamma }{2}=-\cos \frac{\gamma +\delta }{2}=\sin \frac{\delta -\alpha }{2}\\ \end{array}$

Daraus ergeben sich außerdem folgende Formeln mit Halbwinkeln des Tangens:

$\begin{array}{cc}\frac{a+c}{b+d}& =\frac{\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}}{1+\tan \frac{\alpha }{2}\cdot \tan \frac{\beta }{2}}\cdot \tan \frac{\theta }{2}\\ \frac{b-d}{a-c}& =\frac{\tan \frac{\alpha }{2}-\tan \frac{\beta }{2}}{1-\tan \frac{\alpha }{2}\cdot \tan \frac{\beta }{2}}\cdot \tan \frac{\theta }{2}\\ \end{array}$

Geschichte

Die Formeln wurden in der heutigen Darstellung 1808 von Mollweide veröffentlicht und verbreiteten sich anschließend unter seinen Namen. Allerdings waren sie schon vorher anderen Mathematikern bekannt. Die Kosinusgleichungen finden sich bereits in Isaac Newtons Arithmetica Universalis (1707). Sowohl die Sinus- als auch die Kosinusvariante finden sich als geometrische Lehrsätze in Analysis triangulorum (1746) von F. W. de Oppel. Ebenfalls noch vor Mollweide finden sich die Formeln auch in Werken von Thomas Simpson (1748), Antoine-René Mauduit (1765) und Antonio Cagnoli (1786).

Literatur

• C. B. Mollweide: Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie. In: Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 1808, Seiten 394–400.
• Heinz Klaus Strick: Karl B. Mollweide (1774–1825): Auf der Jagd nach der besten Karte. Spektrum, März 2021
• Natanael Karjanto: Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry. In: Teaching Mathematics and Its Applications, 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, doi:10.1093/teamat/hrr008
• Rex H. Wu: Proof Without Words: The Mollweide Equations from the Law of Sines. In: Mathematics Magazine, 93 (5), S. 386

Weblinks

• Rex H. Wu: The Story of Mollweide and Some Trigonometric Identities