Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge $E_n$ ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

$\mathrm{sech}(x)=\frac{1}{\cosh (x)}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\frac{x^n}{n!}$

definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen $E(n,k)$.

Zahlenwerte

Die ersten Eulerschen Zahlen $E_n\ne 0$ lauten

$n$	$E_n$
0	1
2	−1
4	5
6	−61
8	1385
10	−50521
12	2702765
14	−199360981
16	19391512145
18	−2404879675441
20	370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E₀ bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren $(-1{)}^n{E}_{2n}$ entsprechen.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

$E_{2n}\sim (-1{)}^{n}8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}=(-1{)}^n\frac{\sqrt{e}}{2}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n+\frac{1}{2}}$

oder präziser

$\frac{E_{2n}}{(2n)!}\sim 2(-1{)}^n{\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+1}$

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert $E_0=1$ lautet

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:(E+1{)}^n+(E-1{)}^n=0$

wobei $E^n$ als $E_n$ zu interpretieren ist und woraus

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:\sum _{k=0}^n(1+(-1{)}^{n-k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k=0$

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:E_n=-\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})E_{n-2k}$

folgt.

Geschlossene Darstellungen

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0:E_{2n}=\frac{(2n)!2^{2n+2}}{(-1{)}^n{\pi }^{2n+1}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^{2n+1}}=\frac{(2n)!2}{(-1{)}^n(2\pi {)}^{2n+1}}(\zeta (2n+1,\frac{1}{4})-\zeta (2n+1,\frac{3}{4}))$

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion $\zeta$ falls $n=0$ ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

$E_{2n}=4^{2n+1}\zeta (-2n,\frac{1}{4})$

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf $ℂ\setminus \{1\}$ holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

$E_{2n}=-4^{2n+1}\frac{B_{2n+1}(\frac{1}{4})}{2n+1}$

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen $B_n(x)$ und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

$E_{2n}=\frac{(-1{)}^n{4}^{n+1}(2n)!}{{\pi }^{2n+1}}\cdot \beta (2n+1),$

wobei $\beta (s)$ die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche Polynome

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome ${\text{E}}_n:ℝ\to ℝ$ werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\text{E}}_n(x)\frac{t^n}{n!}$

implizit definiert. Die ersten lauten

${\text{E}}_0(x)=1$

${\text{E}}_1(x)=x-\frac{1}{2}$

${\text{E}}_2(x)=x^2-x=x(x-1)$

${\text{E}}_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(2x-1)(2x^2-2x-1)$

${\text{E}}_4(x)=x^4-2x^3+x=x(x-1)(x^2-x-1)$

${\text{E}}_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2x-1)(x^2-x-1{)}^2$

${\text{E}}_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x=x(x-1)(x^4-2x^3-2x^2+3x+3)$

Man kann sie aber auch zu ${\text{E}}_0(x)=1$ und dann für $n\in \mathbb{N}$ über die Gleichung

${\text{E}}_n(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}n{\text{E}}_{n-1}(t)\text{d}t$

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze $c$ für ungerades $n$ 1/2 ist und für gerades $n$ Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um $\frac{1}{2}$, d. h.

${\text{E}}_n(\frac{1}{2}+x)=(-1{)}^n{\text{E}}_n(\frac{1}{2}-x)\text{bzw.}{\text{E}}_n(x+1)=(-1{)}^n{\text{E}}_n(-x)$

und ihre Funktionswerte an den Stellen $\frac{1}{2}$ und $0$ der Beziehung

${\text{E}}_n(\frac{1}{2})=2^{-n}{E}_n$

und

${\text{E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2)\frac{B_n}{n}$

genügen, wobei $B_n$ die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

${\text{E}}_n(x+1)+{\text{E}}_n(x)=2x^n$

Das Eulersche Polynom ${\text{E}}_n$ hat für $n>5$ weniger als $n$ reelle Nullstellen. So hat zwar ${\text{E}}_5$ fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon ${\text{E}}_6$ nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei $R(n)=\{x\in ℝ:{\text{E}}_n(x)=0\}$ die Nullstellenmenge. Dann ist

$-\frac{1}{2}|R(n)|+1\le \min R(n)\le \max R(n)\le \frac{1}{2}|R(n)|$

– wobei im Fall n=5 die Anzahl $|R(5)|$ als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{|R(n)|}{n}=\frac{2}{\pi e}\approx 0,2342$

wobei die Funktion $|\cdot |$ angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen

Taylorreihen

Die Folge der Eulerschen Zahlen $E_n$ tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

$\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}=\frac{1}{\cosh (\mathrm{i}x)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{E}_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen $B_n$, was man auch an der Darstellung

$\mathrm{csch}(x)=\frac{1}{\sinh (x)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2-2^n)B_n\frac{x^{n-1}}{n!}$

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei $\frac{\pi }{2}$ – von $\frac{\pi }{2}$ folgt aus dem Wurzelkriterium das $\mathrm{lim\; sup}\log \left|\frac{E_n}{n!}\right|\sim n\log \left(\frac{2}{\pi }\right)$ asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\ln }^n(x)}{1+x^2}dx=|E_n|{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{n+1}$.

Permutationen

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$, so dass diese Permutation kein Tripel $a_{j-1},a_j,a_{j+1}$ mit $1<j<2n$ enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl $A_{2n}$ der alternierenden Permutationen von $2n$ Elementen (die vergleichbar sind)

$A_{2n}=2|E_{2n}|$,

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl $n\in {\mathbb{N}}_0$ gilt

$A_n=2n!{\alpha }_n$

mit ${\alpha }_0={\alpha }_1=1$ und

${\alpha }_n=\frac{1}{2n}\sum _{j=0}^{n-1}{\alpha }_j{\alpha }_{n-1-j}$

für $n\ge 2$, womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der $E_{2n}$ erhält. Für ungerades $n$ werden die Werte $\frac{A_n}{2}$ auch Tangentenzahlen genannt.

Literatur

• J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681–687

Weblinks

• NIST Digital Library of Mathematical Functions
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