Ungleichungen in Vierecken

Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. Die Ungleichungen gelten, wenn sich das Viereck im (ungekrümmten) Euklidischen Raum ${ℝ}^3$ befindet. $a,b,c,d$ bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, $e,f$ die Diagonallängen eines Vierecks.

Größen im Viereck

Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:

$a+b+c>d,b+c+d>a,a+c+d>b,a+b+d>c.$

Daraus folgt:

$a^2+b^2+c^2>\frac{d^2}{3}$

Ptolemäische Ungleichung

In jedem Viereck gilt die Ungleichung des Ptolemäus:

$a\cdot c+b\cdot d\ge e\cdot f$.

Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz von Ptolemäus).

Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen

In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:

$\frac{1}{2}(a+b+c+d)<e+f<a+b+c+d$

Vierecksungleichung für Metriken

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung im metrischen Raum:

$|d(x,y)-d(u,v)|\le d(x,u)+d(v,y)$.

Beweis:

Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:

$d(x,y)\le d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)$ bzw.

$d(u,v)\le d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)$

Unter Verwendung der Eigenschaften von Metriken und absoluten Beträgen gilt dann

$|d(x,y)-d(u,v)|=d(x,y)-d(u,v)\le d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)-d(u,v)=d(x,u)+d(v,y)$

falls $d(x,y)-d(u,v)\ge 0$ gilt bzw. im Fall $d(x,y)-d(u,v)\le 0$

$|d(x,y)-d(u,v)|=d(u,v)-d(x,y)\le d(u,x)+d(x,y)+d(y,v)-d(x,y)=d(x,u)+d(v,y)$

Siehe auch

• Parallelogrammgleichung

Literatur

• Oene Bottema et al: Geometric Inequalities. Wolters-Noordhoff Publishing, Gronigen 1969, S. 128–136 (Digitalisat)
• Martin Josefsson: A few Inequalities in Quadrilaterals. In: International Journal of Geometry, Band 4, Ausgabe 1, S. 11–15 (Digitalisat)
• Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, V. Volenec: Recent Advances in Geometric Inequalities. Kluwer Academic Publishing, S. 401–412