Diedergruppe

Diese Schneeflocke hat dieselbe Symmetriegruppe wie ein regelmäßiges Sechseck, die Diedergruppe $D_6$.

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe $D_n$ als semidirektes Produkt $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{⋊}_{g\mapsto g^{-1}}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ erklärt (siehe unten) und enthält daher genau $2n$ Elemente. Für $n\ge 3$ ist diese Gruppe isomorph zur Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Sie ist dann nicht-abelsch und enthält $n$ Drehungen und $n$ Achsenspiegelungen. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [[[:Vorlage:IPA]]]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige $n$-Ecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung $2$) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise $D_n$, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen $n$-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch $D_{2n}$, um stattdessen die Ordnung $2n$ hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht $D_n$ für die Diedergruppe mit $2n$ Elementen.

Definition

Die Diedergruppe $D_n$ kann für $n\ge 3$ als die Isometriegruppe eines regelmäßigen $n$-Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus $n$ Drehungen und $n$ Spiegelungen, hat also insgesamt $2n$ Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe $D_n$ dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

In den Fällen $n=1$ und $n=2$ führt die geometrische Definition jedoch zu anderen Gruppen. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirekte Produkt $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}⋊\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ auf $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle $n\ge 1$.

Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe $D_3$ der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_3$ ist. $D_4$ ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

$D_2$ ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). $D_1$ ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

$D_2$ ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. $D_1$ ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe $D_8$ anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Matrix-Darstellung

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges $n$-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt $O$ eines Koordinatensystems, irgendeine seiner $n$ Symmetrieachsen als $x$-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als $y$-Achse. Die Diedergruppe $D_n$ lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei $r_k$ die Drehung um $O$ um den Winkel ${\alpha }_k:=k\cdot 2\pi /n$ und $s_k$ die Spiegelung an der Geraden durch $O$, die im Winkel ${\alpha }_k/2=k\cdot \pi /n$ gegenüber der positiven $x$-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

$r_k=\left(\begin{array}{cc}\cos ({\alpha }_k)& -\sin ({\alpha }_k)\\ \sin ({\alpha }_k)& \cos ({\alpha }_k)\end{array}\right)\text{und}{s}_k=\left(\begin{array}{cc}\cos ({\alpha }_k)& \sin ({\alpha }_k)\\ \sin ({\alpha }_k)& -\cos ({\alpha }_k)\end{array}\right)$

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

• $r_{k+n}=r_k$ und $s_{k+n}=s_k$. Daher können wir uns auf $k=0,1,2,\dots ,n-1$ beschränken.
• $r_0$, die Drehung um den Winkel $0$, ist die Identität.
• $r_1$ ist die Drehung um den Winkel $2\pi /n$ und es gilt $r_k=r_1^k$ für alle $k$.
• $s_0$ ist die Spiegelung an der $x$-Achse und es gilt $s_k=r_k{s}_0$ für alle $k$.

Wenn $n$ ungerade ist, dann verläuft jede der $n$ Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades $n$ gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe $D_4$ wie folgt:

$\begin{array}{cccccccc}{r}_0& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),& r_1& =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),& r_2& =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),& r_3& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\\ s_0& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),& s_1& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),& s_2& =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),& s_3& =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right).\end{array}$

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

Zykel-Graph von $D_4$:
$a$ ist die Drehung um 90° im Uhrzeigersinn.
$b$ ist die Spiegelung an der vertikalen Mittelachse.

$r_0$ (Drehung um 0°)	$r_1$ (Drehung um 90°)	$r_2$ (Drehung um 180°)	$r_3$ (Drehung um 270°)
$s_0$ (Spiegelung an der x-Achse)	$s_1$ (Spiegelung an der Diagonale y=x)	$s_2$ (Spiegelung an der y-Achse)	$s_3$ (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-Darstellung

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe $D_4$. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe $D_4$ auf den Eckpunkten $1,2,3,4$, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe $S_4$, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus $\tau :D_4\to S_4$. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

$\begin{array}{cccccccc}\tau (r_0)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right),& \tau (r_1)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right),& \tau (r_2)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right),& \tau (r_3)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right)\\ \tau (s_0)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right),& \tau (s_1)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 2& 1& 4\end{array}\right),& \tau (s_2)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right),& \tau (s_3)& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 4& 3& 2\end{array}\right)\end{array}$

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe $D_n$ auf den Eckpunkten $P_1,P_2,\dots ,P_n$ eine treue Darstellung $\tau :D_n\to S_n$. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

$\tau (r_1)=(1,2,3,\dots ,n).$

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die $P_1$ auf $P_2$ abbildet, $P_2$ auf $P_3$ und so weiter, bis schließlich $P_n$ auf $P_1$ abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation $r_k=r_1^k$ für alle $k$. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch $P_n$ erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

$\tau (s_1)=(1,n-1)(2,n-2)\dots (\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor ,\lfloor \frac{n+2}{2}\rfloor )$

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ (die jeder reellen Zahl $x$ die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als $x$ ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation $s_{k+1}=r_k{s}_1$ für alle $k$ (mit $s_4=s_0$).

Erzeuger und Relationen

Alle $n$ Drehungen werden von $r=r_1$ erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung $n$ und demnach von Index $2$. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel $s=s_0$, und so die Präsentation

$D_n=⟨r,s\mid r^n=s^2=srsr=e⟩,$

wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe ist.

Cayleygraph der Diedergruppe $D_5$

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen $\alpha$, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel $2\alpha$. Das bedeutet, dass die Diedergruppe $D_n$ von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel $s_0$ und $s_1$, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

$D_n=⟨s_0,s_1\mid s_0^2=s_1^2=(s_0{s}_1{)}^n=e⟩.$

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes $i$ und $j$ gilt außerdem:

1. $r_i{r}_j=r_{i+j}$
2. $r_i{s}_j=s_{i+j}$
3. $s_i{r}_j=s_{i-j}$
4. $s_i{s}_j=r_{i-j}$

Dabei werden die Indizes jeweils modulo $n$ betrachtet ($r_{i+n}=r_i$ und $s_{i+n}=s_i$).

Anwendungen

Geometrie

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension $2$ entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Codierung

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.

Siehe auch

• Unendliche Diedergruppe

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Stephan-Brumme.com: Der Geldscheintester.