Brocard-Punkte

Datei:Brocard point.svg

Der erste Brocard-Punkt P

Brocard-Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922), der bei ihrer Definition auftretende spezielle Winkel wird als Brocard-Winkel bezeichnet.

Definition

Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:

In einem Dreieck $\mathrm{\Delta }ABC$ mit den Seiten $a,b,c$ gibt es genau einen Punkt $P$ derart, dass die Strecken $\overline{AP},\overline{BP},\overline{CP}$ der Reihe nach mit den Seiten $c,a,b$ den gleichen Winkel $\omega$ einschließen, d. h., dass die Winkelgleichung $\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ gilt. Dieser Punkt $P$ heißt der erste Brocard-Punkt und der Winkel $\omega$ heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks $\mathrm{\Delta }ABC$.

Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken Vorlage:Overline, Vorlage:Overline, Vorlage:Overline der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$ gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel $\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ ist dem Winkel $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$ gleich.

Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.

Vor Brocard wurden sie schon von August Leopold Crelle (1817) und Karl Friedrich Andreas Jacobi (1825) untersucht.

Konstruktion

Datei:01-Brocard-Punkte.svg

Konstruktion des ersten (P) und des zweiten (Q) Brocard-Punktes

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes P beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbögen ersetzt), geht folgendermaßen:

Man schneidet die Mittelsenkrechte ms₁ der Seite Vorlage:Overline mit der Senkrechten s₁ zu der Seite Vorlage:Overline durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Seite Vorlage:Overline im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Seite Vorlage:Overline im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Seite Vorlage:Overline im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt P – den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!

Die drei soeben konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt Q (grün gestrichelte Linien).

Formeln für den Brocard-Winkel

Schreibt man $A_{\mathrm{\Delta }}$ für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:

• $\tan \omega =\frac{4A_{\mathrm{\Delta }}}{a^2+b^2+c^2}$.
• $\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$.
• $\sin \omega =\frac{2A_{\mathrm{\Delta }}}{\sqrt{b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{b}^2}}$

Für jedes Dreieck gilt $\omega \le 30^{\circ }$.

Eigenschaften

• Die beiden Brocard-Punkte eines Dreiecks ABC sind stets zueinander isogonal konjugiert.
• Der Mittelpunkt der beiden Brocard-Punkte (Kimberling-Nummer X(39)) liegt auf der sogenannten Brocard-Achse, die den Umkreismittelpunkt und den Lemoine-Punkt verbindet. Die Verbindungsgerade der beiden Brocard-Punkte ist senkrecht zur Brocard-Achse.

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des ersten bzw. zweiten Brocard-Punkts sind

$\frac{c}{b}:\frac{a}{c}:\frac{b}{a}\text{bzw.}\frac{b}{c}:\frac{c}{a}:\frac{a}{b}$.

Die baryzentrischen Koordinaten sind

$\frac{1}{b^2}:\frac{1}{c^2}:\frac{1}{a^2}\text{bzw.}\frac{1}{c^2}:\frac{1}{a^2}:\frac{1}{b^2}$.

Dabei sind $a,b,c$ die Seitenlängen des Dreiecks.

Dritter Brocard-Punkt

Gelegentlich wird der Punkt mit trilinearen Koordinaten $(a^{-3},b^{-3},c^{-3})$ als „dritter“ Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die Kimberling-Nummer $X_{76}$ und die baryzentrischen Koordinaten $(a^{-2},b^{-2},c^{-2})$. Damit schließt er die Permutation mit den ersten beiden Brocard-Punkten mit den baryzentrischen Koordinaten $(b^{-2},c^{-2},a^{-2})$ bzw. $(c^{-2},a^{-2},b^{-2})$.

Literatur

• Ross Honsberger Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995, Kapitel 10 (Brocard Points)
• Roger A. Johnson Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, Houghton Mifflin 1929, Neuauflage als Advanced Euclidean Geometry, Dover 1960
• Julian Coolidge A treatise on the geometry of the circle and the square, New York, Chelsea 1971

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Brocard Points (First Brocard Point, Second Brocard Point, Third Brocard Point) auf MathWorld