Kaluza-Klein-Christoffel-Symbol

Die fünfdimensionale Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole sind in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung der vierdimensionalen Christoffel-Symbole. Benutzt werden diese direkt für die Geodätengleichung der Kaluza-Klein-Theorie und tauchen indirekt über den Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor auch in den Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen auf.

Benannt sind die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole nach Theodor Kaluza, Oskar Klein und Elwin Bruno Christoffel.

Definition

Sei ${\tilde{g}}_{a b}$ die Kaluza-Klein-Metrik. Die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole sind gegeben durch:^[1]

{\tilde{Γ}}_{a b}^{c} : = \frac{1}{2} {\tilde{g}}^{c d} (\partial_{a} {\tilde{g}}_{b d} + \partial_{b} {\tilde{g}}_{a d} - \partial_{d} {\tilde{g}}_{a b}) .

Eigenschaften

Für nichtkompaktifizierte Raumzeit-Indizes fallen die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole nicht auf die gewöhnlichen Christoffel-Symbole zurück. Stattdessen gilt:
${\tilde{Γ}}_{μ ν}^{σ} = Γ_{μ ν}^{σ} - \frac{1}{2} A^{σ} (\partial_{μ} (ϕ^{2} A_{ν}) + \partial_{ν} (ϕ^{2} A_{μ}))$
Für kompaktifizierte Raumzeit-Indizes vereinfachen sich die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole mit der Zylinderbedingung:
${\tilde{Γ}}_{44}^{μ} = - \frac{1}{2} {\tilde{g}}^{μ d} \partial_{d} {\tilde{g}}_{44} = - \frac{1}{2} {\tilde{g}}^{μ ν} \partial_{ν} {\tilde{g}}_{44} = - ϕ g^{μ ν} \partial_{ν} ϕ,$

${\tilde{Γ}}_{44}^{4} = - \frac{1}{2} {\tilde{g}}^{4 d} \partial_{d} {\tilde{g}}_{44} = - \frac{1}{2} {\tilde{g}}^{4 ν} \partial_{ν} {\tilde{g}}_{44} = ϕ A^{ν} \partial_{ν} ϕ .$
Analog zum Christoffel-Symbol, doch zusätzlich mit dem Zusammenhang $\tilde{g} = ϕ^{2} g$ ,^[2] gilt:
${\tilde{Γ}}_{a b}^{a} = \partial_{b} \ln \sqrt{- \tilde{g}} = \partial_{b} \ln (ϕ \sqrt{- g}) .$