Symplektische Kapazität

In der symplektischen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie innerhalb der Mathematik, sind symplektische Kapazitäten Invarianten symplektischer Mannigfaltigkeiten, die Obstruktionen für die symplektische Einbettbarkeit liefern.

Definition

Eine symplektische Kapazität ist eine Funktion $c$ , die Gebieten $X \subset ℝ^{2 n}$ eine reelle Zahl $c (X) \geq 0$ zuordnet, so dass gilt:

(Monotonie) Wenn $X$ und $X^{'}$ Gebiete im $ℝ^{2 n}$ sind und es eine symplektische Einbettung $X \to X^{'}$ gibt, dann ist $c (X) \leq c (X^{'})$ .
(Konformalität) Für jedes Gebiet $X \subset ℝ^{2 n}$ und jede positive reelle Zahl r gilt $c (r X) = r^{2} c (X)$ .

Eine symplektische Kapazität heißt normiert, wenn für die Einheitskugel $B^{2 n} (1)$ und den Einheitszylinder $Z^{2 n} (1)$ gilt

c (B^{2 n} (1)) = c (Z^{2 n} (1)) = 1 .

Die Gromov-Weite $c_{G r} (X) = \sup {r : B^{2 n} (r) kann symplektisch in X eingebettet werden}$ ist eine symplektische Kapazität. Es folgt aus dem Quetschungssatz von Gromov, dass sie normiert ist.
Die zylindrische Kapazität $c_{Z} (X) = \inf {R : X kann symplektisch in Z^{2 n} (R) eingebettet werden}$ ist eine symplektische Kapazität. Es folgt aus dem Quetschungssatz von Gromov, dass sie normiert ist.
Die Hofer-Zehnder-Kapazität $c_{Z H}$ ist eine normierte symplektische Kapazität.
Die Viterbo-Kapazität $c_{S H}$ ist eine normierte symplektische Kapazität.
Die Ekeland-Hofer-Kapazitäten $c_{k}^{E H}$ sind symplektische Kapazitäten, für $k = 1$ erhält man eine normierte symplektische Kapazität.
Die äquivarianten Kapazitäten $c_{k}^{C H}$ sind symplektische Kapazitäten, für $k = 1$ erhält man eine normierte symplektische Kapazität.
Für $2 n = 4$ sind die mittels eingebetteter Kontakt-Homologie definierten ECH-Kapazitäten $c_{k}^{E C H}$ symplektische Kapazitäten, für $k = 1$ erhält man eine normierte symplektische Kapazität.

C. Viterbo: Capacités symplectiques et applications (d’après Ekeland-Hofer, Gromov). Sémin. Bourbaki, Vol. 1988/89, 41e année, Exp. No. 714, Astérisque 177–178, 345–362 (1989).
H. Hofer, E. Zehnder: Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics. Birkhäuser Advanced Texts. Basel: Birkhäuser. xiii, 341 p. (1994).