Interpolationssatz von Stampacchia

Der Interpolationssatz von Stampacchia, welcher vom italienischen Mathematiker Guido Stampacchia aufgestellt wurde, ähnelt im Grunde dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz, wobei hier aber nicht zwischen $L^p$-Räumen interpoliert wird, sondern durch $L^{\mathrm{\infty }}(Q_0,{ℝ}^N)\to$ BMO$(Q_0,{ℝ}^{\varphi })$.

Definition des Satzes

Sei $Q_0$ ein Würfel im ${ℝ}^N$ und $T$ eine lineare Abbildung von $L^s(Q_0,{ℝ}^N)$ nach $L^s(Q_0,{ℝ}^{\varphi })$, welche zudem $L^{\mathrm{\infty }}(Q_0,{ℝ}^N)$ nach $\mathrm{B}\mathrm{M}\mathrm{O}(Q_0,{ℝ}^{\varphi })$ abbildet, so dass

$\Vert Tf{\Vert }_{L^s(Q_0,{ℝ}^{\varphi })}⩽A_s\Vert f{\Vert }_{L^s(Q_0,{ℝ}^N)}\mathrm{\forall }f\in L^s(Q_0,R^N)$

$[Tg{]}_{*,Q_0}⩽A_{\mathrm{\infty }}\Vert g{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(Q_0,{ℝ}^N)}\mathrm{\forall }g\in L^{\mathrm{\infty }}(Q_0,{ℝ}^N)$.

Für alle $p$ mit $s<p<\mathrm{\infty }$ bildet dann $T$ den Raum $L^p(Q_0,{ℝ}^N)$ nach $L^p(Q_0,{ℝ}^{\varphi })$ ab mit

${\Vert T\mu -(T\mu {)}_{Q_0}\Vert }_{L^p(Q_0,{ℝ}^{\varphi })}⩽A_p\Vert \mu {\Vert }_{L^p(Q_0,{ℝ}^N)}$,

wobei

${\mathrm{C}\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}{}^{\mathrm{s}/\mathrm{p}}{A}_{\mathrm{\infty }}^{1-(s/p)}$.

Bemerkung

Im Sinne der Definition der BMO-Räume stellt $\mu :Q_0\to {ℝ}^N$ hierbei eine integrierbare Funktion dar, für welche man

$[\mu {]}_{*}=[\mu {]}_{*,Q_0}:=\underset{Q\subset Q_0}{\sup }\underset{Q}{\overset{}{\int }}|\mu -{\mu }_Q|dx$,

setzt, wobei $Q_0$ für einen achsenparallelen Würfel im ${ℝ}^n$ steht.

Siehe auch

• Interpolationssatz von Marcinkiewicz

Literatur

• Stampacchia, G.: Sopra una classe di funzioni in n variabili. Ricerche di Matematica, vol. 1, 1952
• Stampacchia, G.: L(p,λ) spaces and interpolation. Comm. Pure and Applied Math, vol. 17, 1964