Sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie

Sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie (auch D = 6 holomorphe Chern-Simons-Theorie, kurz D = 6 HCS), alternativ auch nur holomorphe Chern-Simons-Theorie, ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Eichtheorie über einer dreidimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit (also mit sechs reellen Dimensionen). Dabei stammt die Benennung von der Verwendung einer holomorphen Analogie der Chern-Simons-3-Form in der Wirkung, kombiniert mit einer holomorphen (0,3)-Form mithilfe des Dachproduktes. Eine Wirkung nur mit einer einzigen Chern-Simons-Formen ist nicht möglich, da diese nur in ungeraden Dimensionen existieren. Benannt ist die Theorie nach Shiing-Shen Chern und James Simons, welche die zugrundeliegenden Chern-Simons-Formen erstmals im Jahr 1974 beschrieben.

Formulierung

Sei $G$ eine einfache komplexe Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$. Sei $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel mit einer dreidimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit $B$ (womit auch $E$ eine komplexe Mannigfaltigkeit ist). Sei $\mathrm{Ad}(E):=E{\times }_G𝔤\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Vektorbündel. Sei $\bar{A}\in {\mathrm{\Omega }}^{(0,1)}(B,\mathrm{Ad}(E))$ ein komplexer Zusammenhang und $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^{(3,0)}(B,\mathrm{Ad}(E))$.

Die holomorphe Chern-Simons-3-Form ist gegeben durch:

$\mathrm{HCS}(\bar{A}):=\mathrm{tr}(\bar{A}\wedge \bar{\partial }\bar{A}+\frac{2}{3}\bar{A}\wedge \bar{A}\wedge \bar{A})\in {\mathrm{\Omega }}^{(0,3)}(B).$

Dabei ist die Spur $\mathrm{tr}$ eine $G$-invariante (definiert mithilfe der adjungierten Darstellung) Bilinearform auf der Lie-Algebra $𝔤$, welche dafür sorgt, dass die Differentialformen keine Koeffizienten mehr in dieser annehmen. Da die Lie-Gruppe $G$ und demnach auch die Lie-Algebra $𝔤$ einfach sind, ist diese Bilinearform proportional zur Killing-Form. Oft wird daher einfach direkt diese verwendet. (Im Falle einer Matrizengruppe $G$ und einer Matrizenalgebra $𝔤$ kann dabei einfach die gewöhnliche Spur $\mathrm{tr}$ von quadratischen Matrizen genommen werden.) Die Wirkung der sechsdimensionalen holomorphen Chern-Simons-Theorie ist gegeben durch:

$S(\bar{A}):=-\frac{i}{2\pi }\underset{B}{\int }\mathrm{\Omega }\wedge \mathrm{HCS}(\bar{A}).$

Dabei ist $\mathrm{\Omega }\wedge \mathrm{HCS}(\bar{A})\in {\mathrm{\Omega }}^{(3,3)}(B)$ wie für die Integration über $B$ notwendig.

Verbindungen

Vierdimensionale Chern-Simons-Theorie (D = 4 CS) ergibt sich durch Symmetriereduktion aus der sechsdimensionalen holomorphen Chern-Simons-Theorie über dem Twistor-Raum, der Eigenbezeichnung des dritten komplexen projektiven Raumes $ℂP^3$. Ebenfalls daraus ableiten lassen sich die antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen, wobei beide zur Beschreibung von integrierbaren Systemen benutzt werden können. Im hinteren Fall ist dies als Ward-Vermutung bekannt. Beide Wege aus D = 6 HCS über D = 4 CS und ASDYM führen auf das gleiche Resultat.

Siehe auch

• Unendlichdimensionale Chern-Simons-Theorie

Weblinks

• D=6 Chern-Simons theory und holomorphic Chern-Simons theory auf nLab (englisch)