Bi-Yang-Mills-Gleichungen

Die Bi-Yang-Mills-Gleichungen (kurz Bi-YM-Gleichungen) sind in der Yang-Mills-Theorie eine Modifikation der Yang-Mills-Gleichungen. Ihre Lösungen werden Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge (oder Bi-YM-Zusammenhänge) genannt. Vereinfacht ausgedrückt stehen Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge zu Yang-Mills-Zusammenhängen wie diese zu flachen Zusammenhängen. Dies kommt daher, dass Yang-Mills-Zusammenhänge nicht unbedingt flach sind, aber zumindest lokal einen Extremwert der Krümmung annehmen, während Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge nicht unbedingt Yang-Mills-Zusammenhänge sind, aber zumindest lokal einen Extremwert der linken Seite der Yang-Mills-Gleichungen annehmen. Während Yang-Mills-Zusammenhänge als nichtlineare Verallgemeinerungen von harmonischen Funktionen gesehen werden können, können Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge als nichtlineare Verallgemeinerungen von biharmonischen Funktionen gesehen werden.

Bi-Yang-Mills-Wirkung

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform ${\mathrm{vol}}_g$ ist. Sei $\mathrm{Ad}(E):=E{\times }_G𝔤\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Bündel. ${\mathrm{\Omega }}^1(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\mathrm{Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform ${\mathrm{vol}}_g$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Bi-Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:

$\mathrm{BiYM}:{\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))\to ℝ,\mathrm{BiYM}(A):=\underset{B}{\int }\Vert {\delta }_A{F}_A{\Vert }^2\mathrm{d}{\mathrm{vol}}_g.$

Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge und -Gleichung

Ein Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird Bi-Yang-Mills-Zusammenhang genannt, wenn dieser ein kritischer Punkt der Bi-Yang-Mills-Wirkung ist, also:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{BiYM}(A(t)){|}_{t=0}=0.$

für jede glatte Familie $A:(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ mit $A(0)=A$ gilt. Das gilt genau dann, wenn die Bi-Yang-Mills-Gleichungen erfüllt sind:

$({\delta }_A{\mathrm{d}}_A+{ℛ}_A)({\delta }_A{F}_A)=0.$

Für einen Bi-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird dessen Krümmung $F_A\in {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$ als Bi-Yang-Mills-Feld bezeichnet.

Stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge

Analog zu (schwach) stabilen Yang-Mills-Zusammenhängen lassen sich (schwach) stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge definieren. Ein Bi-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird stabil genannt, wenn:

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\mathrm{BiYM}(A(t)){|}_{t=0}>0$

für jede glatte Familie $A:(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ mit $A(0)=A$ gilt. $A$ wird schwach stabil genannt, wenn nur $\ge 0$ gilt. Ein Bi-Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Für ein (schwach) stabilen oder instabilen Bi-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird dessen Krümmung $F_A\in {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$ zudem als (schwach) stabiles oder instabiles Bi-Yang-Mills-Feld bezeichnet.

Eigenschaften

• Yang-Mills-Zusammenhänge sind schwach stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge.

Siehe auch

• F-Yang-Mills-Gleichungen, Verallgemeinerung der Yang-Mills-Gleichungen

Literatur

• Vorlage:Cite book

Weblinks

• Bi-Yang-Mills equation auf nLab (englisch)