Positives Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra positiv, wenn es eine Summe von Elementen der Form $a^{*}a$ ist.

Definition

Sei $𝒜$ eine *-Algebra, so heißt ein Element $a\in 𝒜$ positiv, falls endlich viele Elemente $a_k\in 𝒜(k=1,2,\dots ,n)$ existieren, sodass $a={\sum }_{k=1}^n{a}_k^{*}{a}_k$ gilt. Man schreibt dafür auch Vorlage:Nowrap

Die Menge der positiven Elemente wird mit ${𝒜}_{+}$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem $𝒜$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\Vert a^{*}a\Vert ={\Vert a\Vert }^2\mathrm{\forall }a\in 𝒜$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Beispiele

• Das Einselement $e$ einer unitären *-Algebra ist positiv.
• Für jedes Element $a\in 𝒜$ sind $a^{*}a$ und $a{a}^{*}$ per Definition positiv.

Falls $𝒜$ eine C*-Algebra ist, gilt:

• Sei $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element, dann definiert jede positive Funktion $f\ge 0$, die auf dem Spektrum von $a$ stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein positives Element Vorlage:Nowrap
• Jede Projektion, das heißt jedes Element $a\in 𝒜$ für das $a=a^{*}=a^2$ gilt, ist positiv. Für das Spektrum $\sigma (a)$ eines solchen idempotenten Elements gilt nämlich $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$, wie sich aus dem stetigen Funktionalkalkül ergibt.

Kriterien

Sei $𝒜$ eine C*-Algebra und Vorlage:Nowrap Dann sind äquivalent:

• Es gilt $\sigma (a)\subseteq [0,\mathrm{\infty })$ und $a$ ist ein normales Element.
• Es existiert ein Element $b\in 𝒜$, sodass $a=b{b}^{*}$ gilt.
• Es existiert ein (eindeutiges) selbstadjungiertes Element $c\in {𝒜}_{sa}$, sodass $a=c^2$ gilt.

Ist $𝒜$ eine unitäre *-Algebra mit Einselement $e$, so sind dazu außerdem die folgenden Aussagen äquivalent:

• Es gilt $\Vert te-a\Vert \le t$ für jedes $t\ge \Vert a\Vert$ und $a$ ist selbstadjungiertes Element.
• Es gilt $\Vert te-a\Vert \le t$ für ein $t\ge \Vert a\Vert$ und $a$ ist selbstadjungiertes Element.

Eigenschaften

In *-Algebren

Sei $𝒜$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Ist $a\in {𝒜}_{+}$ ein positives Element, dann ist $a$ selbstadjungiert.
• Die Menge der positiven Elemente ${𝒜}_{+}$ ist ein konvexer Kegel im reellen Vektorraum der selbstadjungierten Elemente Vorlage:Nowrap Das heißt, für alle $a,b\in 𝒜$ und $\alpha \in [0,\mathrm{\infty })$ gilt Vorlage:Nowrap
• Ist $a\in {𝒜}_{+}$ ein positives Element, dann ist auch $b^{*}ab$ positiv für jedes Element Vorlage:Nowrap
• Für die lineare Hülle von ${𝒜}_{+}$ gilt $⟨{𝒜}_{+}⟩={𝒜}^2$ und Vorlage:Nowrap

In C*-Algebren

Sei $𝒜$ eine C*-Algebra. Dann gilt:

• Nach dem stetigen Funktionalkalkül existiert für jedes $a\in {𝒜}_{+}$ und $n\in \mathbb{N}$ ein eindeutig bestimmtes $b\in {𝒜}_{+}$, das $b^n=a$ erfüllt, das heißt eine $n$-te Wurzel. Insbesondere existiert für ein positives Element eine Quadratwurzel. Da für ein $b\in 𝒜$ das Element $b^{*}b$ positiv ist, ermöglicht dies die Definition eines eindeutigen Betrags: Vorlage:Nowrap
• Für jede reelle Zahl $\alpha \ge 0$ gibt es ein positives Element $a^{\alpha }\in {𝒜}_{+}$ für das $a^{\alpha }{a}^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ für alle $\beta \in [0,\mathrm{\infty })$ gilt. Dabei ist die Abbildung $\alpha \mapsto a^{\alpha }$ stetig. Für invertierbare $a$ sind auch negative Werte für $\alpha$ möglich.
• Produkte kommutierender positiver Elemente sind ebenfalls positiv. Gilt also $ab=ba$ für positive $a,b\in {𝒜}_{+}$, so gilt Vorlage:Nowrap
• Jedes Element $a\in 𝒜$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von vier positiven Elementen darstellen. Hierzu zerlegt man $a$ zunächst in den selbstadjungierten Real- und Imaginärteil und diese wiederum in Positiv- und Negativteil mittels stetigem Funktionalkalkül. Es gilt nämlich ${𝒜}_{sa}={𝒜}_{+}-{𝒜}_{+}$, da Vorlage:Nowrap
• Es gilt $a=0$, falls sowohl $a$ als auch $-a$ positiv sind.
• Ist $ℬ$ eine C*-Unteralgebra von $𝒜$, so gilt Vorlage:Nowrap
• Ist $ℬ$ eine weitere C*-Algebra und $\mathrm{\Phi }$ ein *-Homomorphismus von $𝒜$ nach $ℬ$, dann gilt Vorlage:Nowrap
• Seien $a,b\in {𝒜}_{+}$ positive Elemente für die $ab=0$ gilt, so kommutieren diese und es gilt Vorlage:Nowrap Man nennt diese dann auch orthogonal und schreibt Vorlage:Nowrap

Partielle Ordnung

Sei $𝒜$ eine *-Algebra. Die Eigenschaft, positives Element zu sein, definiert eine translationsinvariante partielle Ordnung auf der Menge der selbstadjungierten Elemente Vorlage:Nowrap Wenn $b-a\in {𝒜}_{+}$ gilt für $a,b\in 𝒜$, schreibt man $a\le b$ oder Vorlage:Nowrap

Diese partielle Ordnung erfüllt die Eigenschaften $ta\le tb$ und $a+c\le b+c$ für alle $a,b,c\in {𝒜}_{sa}$ mit $a\le b$ und Vorlage:Nowrap

Ist $𝒜$ eine C*-Algebra, so besitzt die partielle Ordnung darüber hinaus für $a,b\in 𝒜$ die folgenden Eigenschaften:

• Gilt $a\le b$, so ist $c^{*}ac\le c^{*}bc$ für jedes Vorlage:Nowrap Für ein $c\in {𝒜}_{+}$, das mit $a$ und $b$ kommutiert, gilt sogar Vorlage:Nowrap
• Gilt $-b\le a\le b$, so ist Vorlage:Nowrap
• Gilt $0\le a\le b$, so ist $a^{\alpha }\le b^{\alpha }$ für alle reellen Zahlen Vorlage:Nowrap
• Ist $a$ invertierbar und gilt $0\le a\le b$, so ist $b$ invertierbar und für die Inversen gilt Vorlage:Nowrap

Siehe auch

• Positive Matrix
• Positiver Operator

Literatur

• Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.