Hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument

Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix-Argument. Sie taucht häufig in der multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen bei der Berechnung multivariater Integrale auf.

Eine Schwierigkeit beim Berechnen der Funktion besteht darin, dass man Jack-Polynome mit Parameter $\alpha$ berechnen muss. Häufig interessiert man sich für den Fall $\alpha =2$, welches die zonalen Polynome sind. Dies sind orthogonale Polynome und multivariate Verallgemeinerungen der Monome. Außerdem sind sie Eigenfunktionen eines Differentialoperators und Jack-Polynome mit einer C-Normalisierung. Es gibt unterschiedliche Definitionen und Berechnungsmöglichkeiten.

Auch wenn es sich bei der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument eigentlich um eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion handelt, so verzichtet man in der Literatur in der Regel auf den Zusatz verallgemeinert.

Definition

Sei

• $\kappa =(k_1,\dots ,k_p)$ eine Partition einer Zahl $k\in {\mathbb{N}}_0$, das heißt, es gilt $k=k_1+\dots +k_p$ und $k_1\ge \cdots \ge k_p\ge 0$ wobei $k_1,\dots ,k_p\in {\mathbb{N}}_0$ .
• $l(\kappa )$ die Länge der Partition $\kappa$, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet $l((2,1,0,0))=2$),
• $(a{)}_{\kappa }^{\alpha }$ das verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.
• $m,n\ge 0$ nicht-negative ganze Zahlen.

Seien $a_1,\dots ,a_m$ und $b_1,\dots ,b_n$ komplexe Zahlen und $S$ eine komplexe symmetrische Matrix mit Dimension $r\times r$. Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als

${}_m{F}_n^{(\alpha )}(a_1,\dots ,a_m;b_1,\dots ,b_n;S)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\kappa ⊢k}\frac{(a_1{)}_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_m{)}_{\kappa }^{\alpha }}{(b_1{)}_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_n{)}_{\kappa }^{\alpha }}\frac{C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}{k!},$

wobei $\kappa ⊢k$ die Summation über alle Partitionen von $k$ ist und $C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)$ das Jack-Polynom zum Parameter $\alpha$ von $S$ für $\kappa$ ist.

Erläuterungen

• ${}_m{F}_n^{(\alpha )}(a_1,\dots ,a_m;b_1,\dots ,b_n;S)$ ist Skalar-wertig.
• In der Statistik und in der Stochastik interessiert man sich vor allem für den Fall $\alpha =2$, dann sind $C_{\kappa }^{(2)}(S)$ zonale Polynome respektive C-normalisierte Jack-Polynome.

Zweifaches Matrix-Argument

Analog definiert man die hypergeometrische Funktion für zwei symmetrische Matrizen $S$ und $T$ mit Dimension $r\times r$

${}_m{F}_n^{(\alpha )}(a_1,\dots ,a_m;b_1,\dots ,b_n;S,T)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\kappa ⊢k}\frac{(a_1{)}_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_m{)}_{\kappa }^{\alpha }}{(b_1{)}_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_n{)}_{\kappa }^{\alpha }}\frac{1}{k!}\frac{C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)C_{\kappa }^{(\alpha )}(T)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)},$

wobei $I$ die Identitätsmatrix der Dimension $r\times r$ ist.

Zonale Polynome

Sei $X$ eine $r\times r$ symmetrische Matrix mit Eigenwerten $y_1,\dots ,y_r$ und $\kappa =(k_1,\dots ,k_r)$ eine Partition von $k$, welche nicht aus mehr als $r$ Teilen besteht. Die zonalen Polynome $C_{\kappa }^{(2)}(X)$ sind die Eigenfunktionen des Differentialoperators

${\mathrm{\Delta }}_X=\sum _{i=1}^r{y}_i^2\frac{{\partial }^2}{\partial y_i^2}+\sum _{i=1}^r\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ i\ne j\end{array}}^r\frac{y_i^2}{y_i-y_j}\frac{\partial }{\partial y_i},$

das heißt sie erfüllen die partielle Differentialgleichung

${\mathrm{\Delta }}_X{C}_{\kappa }^{(2)}(X)=\alpha C_{\kappa }^{(2)}(X)$

mit

$\alpha =\sum _{i=1}^r{k}_i(k_i-i)+k(r-1).$

Literatur

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