Verallgemeinertes Pochhammer-Symbol

In der Mathematik ist das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol eine Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols. Die Funktion tritt in der Theorie der Zufallsmatrizen, in der Theorie der multivariablen orthogonalen Polynome und in der multivariaten Statistik auf.

Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol trägt den Namen von Leo August Pochhammer.

Definition

Sei

$κ = (k_{1}, \dots, k_{p})$ eine Partition von $n \in ℕ_{0}$ , das heißt, es gilt $n = k_{1} + \dots + k_{p}$ und $k_{1} \geq \dots \geq k_{p} \geq 0$ wobei $k_{1} \dots, k_{p} \in ℕ_{0}$ .
$l (κ)$ die Länge der Partition $κ$ , das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet $l ((2, 1, 0, 0)) = 2$ ),
$(a)_{k}$ ist das Pochhammer-Symbol respektive die steigende Faktorielle

(a)_{k} = \frac{Γ (a + k)}{Γ (a)} = \prod_{j = 1}^{k} (a + j - 1) .

Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol mit Parameter $α$ zur Partition $κ$ ist definiert als

(a)_{κ}^{α} : = \prod_{i = 1}^{l (κ)} {(a - \frac{i - 1}{α})}_{k_{i}} = \prod_{i = 1}^{l (κ)} \prod_{j = 1}^{k_{i}} (a - \frac{i - 1}{α} + j - 1)

.^[1]

Ausgedrückt mit Hilfe der Gamma-Funktion

(a)_{κ}^{α} = \prod_{i = 1}^{l (κ)} \frac{Γ (a - \frac{i - 1}{α} + k_{i})}{Γ (a - \frac{i - 1}{α})}

.^[1]

Den Fall $α = 1$ nennt man auch verallgemeinerte hypergeometrische Koeffizienten und ist

(a)_{κ}^{1} = \prod_{i = 1}^{l (κ)} {(a - i + 1)}_{k_{i}} = \prod_{i = 1}^{l (κ)} \prod_{j = 1}^{k_{i}} (a - i + j) .