Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.

Die Verteilung wurde 1972 von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.

Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Sei

• $V_{n,p}:=V_p({ℝ}^n)$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als $V_{n,p}=\{X\in {ℝ}^{n\times p}:X^{\prime }X=I_p,p\le n\}$ identifizieren,
• $[dX]$ das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf $V_{n,p}$,
• ${}_0{F}_1^{(2)}(b;S)$ die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h. $b\in ℂ$ und $S\in {ℂ}^{n\times n}$ symmetrisch,
• $\mathrm{etr}(S)=\exp (\mathrm{tr}(S))$,

dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum $n\times p$-Parameter $F$ definiert als

$L(X;F)=\frac{\mathrm{etr}(F^{\prime }X)[dX]}{{}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}{F}^{\prime }F)},X\in V_{n,p}.$

${}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}{F}^{\prime }F)$ kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.

Normalisierungskonstante

Die Integraldarstellung

$\underset{V_{n,p}}{\int }\mathrm{etr}(F^{\prime }X)[dX]={}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}{F}^{\prime }F)={}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}F{F}^{\prime })$

wurde 1961 von Alan T. James bewiesen. Sei $F$ vom Rang $p$ und $F=MD{V}^T$ die Singulärwertzerlegung, dann gilt

${}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}{F}^{\prime }F)={}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}{D}^2)$

mit $D^2=\mathrm{diag}(d_1^2,\dots ,d_p^2)$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

$M_X(Z)=\underset{V_{n,p}}{\int }\mathrm{etr}(F^{\prime }X)\mathrm{etr}(ZX)[dX]=\frac{{}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}(F^{\prime }+Z)(F^{\prime }+Z{)}^{\prime })}{{}_0{F}_1^{(2)}(\frac{1}{2}n;\frac{1}{4}{F}^{\prime }F)}.$

Verallgemeinerung

Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit $S(C)=\{X\in {ℝ}^{n\times p}:X^{\prime }X=C,p\le n\}$, wobei $C$ eine positiv definite $p\times p$-Matrix ist.

Literatur

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