Ogawa-Integral

Das Ogawa-Integral (auch nicht-kausales stochastisches Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden. Um den entsprechenden Kalkül von dem des Skorochod-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral und vom vorwegnehmenden (Vorlage:EnS) Kalkül beim Skorochod-Integral. Mit dem Begriff Kausalität meint man hier die Adaptiertheit an die natürliche Filtration des Wiener-Prozesses und dessen physikalische Interpretation. Ein nicht-adaptierter Prozess kann zu einem fixen Zeitpunkt auch von den zukünftigen Realisationen des Wiener-Prozesses abhängen. Ein anschauliches Beispiel für letzteres aus der Finanzmathematik wäre der Insiderhandel. Der Trader weiß im Voraus, wohin sich der Wiener-Prozess bewegt. Ein weiteres Beispiel wäre das Integral

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{W}_{1}d{W}_t,$

wobei $(W_t{)}_{t\in [0,1]}$ der Wiener-Prozess ist. Dies ist kein Itō-Integral, da der Integrand dem Integrator voraus ist und somit nicht an seine Filtration adaptiert sein kann.

Das Integral wurde 1979 von dem japanischen Mathematiker Ogawa Shigeyoshi eingeführt.

Ogawa-Integral

Sei

• $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum,
• $W=(W_t{)}_{t\in [0,T]}$ ein eindimensionaler Standard-Wienerprozess mit $T\in {ℝ}_{+}$,
• ${ℱ}_t^W=\sigma (W_s;0\le s\le t)\subset ℱ$ und ${𝐅}^W=\{{ℱ}_t^W,t\ge 0\}$ die natürliche Filtration,
• $ℬ([0,T])$ die borelsche σ-Algebra,
• $\int fd{W}_t$ ist das Itō-Integral (resp. Wiener-Integral),
• $dt$ das Lebesgue-Maß.

Mit $𝐇$ bezeichnen wir die Menge der reellwertigen Prozesse $X:[0,T]\times \mathrm{\Omega }\to ℝ$, welche $ℬ([0,T])\times ℱ$-messbar und fast sicher in $L^2([0,T],dt)$ sind, das bedeutet

$P(\underset{0}{\overset{T}{\int }}|X(t,\omega ){|}^{2}dt<\mathrm{\infty })=1.$

Ogawa-Integral

Sei $\{{\phi }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbert-Raumes $L^2([0,T],dt)$.

Ein Prozess $X\in 𝐇$ heißt $\phi$-integrierbar, falls die zufällige Reihe

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t{d}_{\phi }{W}_t:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t{\phi }_n(t)dt)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\phi }_n(t)d{W}_t$

in Wahrscheinlichkeit konvergiert. Wir nennen dieses Summe das Ogawa-Integral bezüglich der Basis $\{{\phi }_n\}$.

Falls $X$ bezüglich jeder vollständigen Orthonormalbasis von $L^2([0,T],dt)$ $\phi$-integrierbar ist und die Werte der Integrale übereinstimmen, dann nennt man $X$ universell Ogawa-integerierbar (oder u-integrierbar).

Das Ogawa-Integral kann auch bezüglich allgemeineren $L^2(\mathrm{\Omega },P)$-Prozessen $Z_t$ (wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung) gebildet werden

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t{d}_{\phi }{Z}_t:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\underset{0}{\overset{T}{\int }}{X}_t{\phi }_n(t)dt)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\phi }_n(t)d{Z}_t,$

sofern die Integrale

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\phi }_n(t)d{Z}_t$

definiert sind.

Erläuterungen

• Die Konvergenz der Reihe hängt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab.
• Es existieren verschiedene äquivalente Definition, welche sich in () finden lassen. Eine Möglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō-Nisio.

Regularität der Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis $\{{\phi }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt regulär, falls

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_n\underset{0}{\overset{T}{\int }}{(\sum _{i=1}^n{\phi }_i(t)\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\phi }_i(s)ds)}^{2}dt<\mathrm{\infty }.$

Der Ausdruck in der Klammer muss also für alle $n$ eine endliche $L^2([0,T],dt)$-Norm besitzen.

Folgende Resultate sind bekannt:

• Jedes Semimartingal (kausal oder nicht) ist genau dann $\phi$-integrierbar, wenn $\{{\phi }_n\}$ regulär ist.
• Es wurde gezeigt, dass eine nicht-reguläre Basis für $L^2([0,1],dt)$ existiert.

Weiterführendes

• Es existiert eine nicht-kausale Itō-Formel, eine nicht-kausale Partielle-Integrations-Formel und eine nicht-kausaler Satz von Girsanow.
• Das Ogawa-Integral für mehrdimensionale Wiener-Prozesse wird in () untersucht.

Beziehungen zu anderen Integralbegriffen

• Stratonowitsch-Integral: Sei $X$ ein stetiges ${𝐅}^W$-adaptiertes Semimartingal und universell-Ogawa-integrierbar bezüglich des Wienerprozesses, dann existiert auch das Stratonowitsch-Integral und es stimmt mit dem Ogawa-Integral überein.
• Skorochod-Integral: Die Beziehungen zwischen dem Ogawa-Integral und dem Skorochod-Integral werden in () untersucht.

Literatur

• Vorlage:Literatur