Adjunktionsraum

Der Adjunktionsraum (auch Verklebungsraum) ist in der Topologie ein Quotientenraum, der durch das Verkleben zweier topologischer Räume entsteht.

Definition

Seien $X$ und $Y$ zwei topologische Räume. Weiter sei $A\subseteq Y$ ein abgeschlossener Unterraum und $f:A\to X$ eine stetige Abbildung. Nun definieren wir auf der disjunkten Vereinigung $X\bigsqcup Y$ eine Äquivalenzrelation $\sim$ durch

$a\sim f(a),\mathrm{\forall }a\in A,$

der daraus resultierende Quotientenraum

$X{\cup }_{f}Y:=(X\bigsqcup Y)/\sim$

nennt man Adjunktionsraum. Die Funktion $f$ nennt man anhängende oder anklebende Funktion. Man sagt, dass man $Y$ an $X$ entlang $f$ anklebt (resp. anhängt).

Erläuterungen

• Die Äquivalenzrelation sagt, dass man ein $x\in X$ mit allen Punkten $f^{-1}(x)\subseteq A$ identifiziert (falls welche getroffen werden).
• Falls $A=\mathrm{\varnothing }$, dann ist $X{\cup }_{f}Y=X\bigsqcup Y$.

Beispiele

• Sei $x_0\in X$ und $y_0\in Y$. Wir werden beide Mengen nun an diesen Punkten verkleben, das heißt sei $A=\{y_0\}\subseteq Y$ und $f:A\to X,f(y_0)=x_0$, dann haben wir $y_0\sim x_0$. Der Adjunktionsraum $X{\cup }_{f}Y$ ist das Wedge-Produkt $X\vee Y$.
• Sei $f:S^1\to S^1,x\to x^2$, dann haben wir $x\sim -x,\mathrm{\forall }x\in S_1$ und $D^2{\cup }_f{S}^1$ ist die reelle projektive Gerade $ℝP^2$.
• Sei $X=D^2$ und $Y=D^2$. Sei $A=\partial Y$ und $f(x)=x$, dann ist $X{\cup }_{f}Y$ gerade die $2$-Sphäre $S^2$.
• Seien $M$ und $N$ zwei nicht-leere $n$-Mannigfaltigkeiten mit Rand und $f:\partial N\to \partial M$ ein Homöomorphismus zwischen den Rändern. Dann ist der Adjunktionsraum $M{\cup }_{f}N$ entstanden durch das Ankleben von $N$ an $M$ entlang ihrer Ränder.
• Sei $X=[0,1]\times [0,1]$ das Einheitsquadrat. Verklebe nun die Seiten $A=\{0\}\times [0,1]$ und $B=\{1\}\times [0,1]$ durch die Äquivalenzrelation $(0,s)\sim (1,s),\mathrm{\forall }s\in [0,1]$. Dann ist der Adjunktionsraum der Zylinder $S^1\times [0,1]$.

Eigenschaften der Quotientenabbildung

Sei $X{\cup }_{f}Y$ ein Adjunktionsraum und $q:X\bigsqcup Y\to X{\cup }_{f}Y$ die Quotientenabbildung.

1. Dann ist die Restriktion von $q{|}_X$ eine topologische Einbettung und $q(X)$ ein abgeschlossener Unterraum von $X{\cup }_{f}Y$.
2. Dann ist die Restriktion von $q{|}_{Y\setminus A}$ eine topologische Einbettung und $q(Y\setminus A)$ ein offener Unterraum von $X{\cup }_{f}Y$.
3. $X{\cup }_{f}Y=q(X)\bigsqcup q(Y\setminus A)$.

Mannigfaltigkeiten verkleben

Seien $M$ und $N$ zwei nicht-leere $n$-Mannigfaltigkeiten mit Rand und $f:\partial N\to \partial M$ ein Homöomorphismus zwischen den Rändern. Dann ist der Adjunktionsraum $M{\cup }_{f}N$ eine $n$-Mannigfaltigkeiten ohne Rand. Weiter existieren zwei topologische Einbettungen $e:M\to M{\cup }_{f}N$ und $h:N\to M{\cup }_{f}N$, deren Bilder abgeschlossene Teilmengen von $M{\cup }_{f}N$ sind und für die gilt

• $e(M)\cup h(N)=M{\cup }_{f}N$,
• $e(M)\cap h(N)=e(\partial M)=h(\partial N)$.

Literatur

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