Doppeloperatorintegral

Doppeloperatorintegrale (DOI, Vorlage:EnS) sind in der Funktionalanalysis und der Störungstheorie Integrale der Form

${\mathrm{Q}}_{\phi }:=\underset{N}{\int }\underset{M}{\int }\phi (x,y)\mathrm{d}E(x)\mathrm{T}\mathrm{d}F(y),$

wobei $\mathrm{T}:G\to H$ ein beschränkter linearer Operator zwischen zwei separablen Hilberträumen ist,

$E:(N,𝒜)\to P(H),$

$F:(M,ℬ)\to P(G)$

zwei Spektralmaße sind, wobei $P(H)$ hier für die Menge der orthogonalen Projektionen über $H$ steht, und $\phi$ eine messbare skalarwertige Funktion ist, welche Symbol des DOI genannt wird. Die Integrale sind hier in Form von Stieltjes-Integralen zu verstehen.

DOI tauchten das erste Mal 1956 in einer Arbeit von Yuri L. Daletskii und Selim G. Krein auf, welche zwei selbstadjungierte Operatoren $A$ und $K$ auf Hilberträumen untersuchten (wobei $K$ die Perturbation von $A$ ist) und die Ableitung für bestimmte operatorwertige Funktionen

$t\mapsto f(A+tK),f:ℝ\to ℂ$

in folgender Form

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f(A+tK)){|}_{t=0}=\underset{ℝ}{\int }\underset{ℝ}{\int }\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\mathrm{d}{E}_A(x)K\mathrm{d}{E}_A(y)$

fanden, wobei hier $E_A(\cdot )$ das Spektralmaß von $A$ ist. Die Theorie der Doppeloperatorintegrale wurde im Wesentlichen von Michail Schljomowitsch Birman und Mikhail Zakharovich Solomyak in den späten 1960ern und 1970ern entwickelt. DOI können verwendet werden, um Normen von Operatoren-Differenzen

$\Vert f(A)-f(B)\Vert$

für operator-lipschitzstetige Funktionen $f$ abzuschätzen und sind dadurch wichtig in der Störungstheorie.

DOI sind Spezialfälle der Multipleoperatorintegralen

$\int \cdots \int \phi (x_1,\dots ,x_n)\mathrm{d}{E}_1(x_1){\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{E}_2(x_2){\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\cdots {\mathrm{T}}_{n-1}\mathrm{d}{E}_n(x_n).$

Doppeloperatorintegral

Die Definition des Integrales induziert direkt eine weitere Abbildung

${\mathrm{Q}}_{\phi }={\mathrm{J}}_{\phi }^{E,F}\mathrm{T},$

welche Transformator genannt wird.

Wie sich herausstellt, hängt die Definition solcher DOI sowie die Klasse der zulässigen Symbolen $\phi$ von der Wahl der betrachteten Operatorenräumen ab. In der ursprünglichen Betrachtung von Birman-Solomyak wurde der Operator $T$ auf die Klasse der Hilbert-Schmidt-Operatoren ${𝒮}_2$ eingeschränkt. Die Definition kann aber auf weitere Schatten-von-Neumann-Klassen respektive auf allgemeine beschränkte Operatoren $T$ erweitert werden, so lange ${\mathrm{Q}}_{\phi }$ auch beschränkt bleibt.

Birman-Solomyak definierten nun folgendes Spektralproduktmaß $ℰ$ durch

$ℰ(\mathrm{\Lambda }\times \mathrm{\Delta })\mathrm{T}:=E(\mathrm{\Lambda })\mathrm{T}F(\mathrm{\Delta }),\mathrm{T}\in {𝒮}_2,$

für messbare Mengen $\mathrm{\Lambda }\times \mathrm{\Delta }\subset N\times M$, wo durch ${\mathrm{Q}}_{\phi }$ durch

${\mathrm{Q}}_{\phi }:=(\underset{N\times M}{\int }\phi (\lambda ,\mu )\mathrm{d}ℰ(\lambda ,\mu ))\mathrm{T}$

für beschränkte und messbare Funktionen $\phi$ definiert werden kann.

Anwendungsbeispiel aus der Störungstheorie

Wir betrachten nur einen Hilbertraum $H=G$ und zwei beschränkte, selbstadjungierte Operatoren $A,B$ auf $H$. Sei nun $\mathrm{T}:=B-A$ und $f$ eine Funktion auf einer Menge, die die Spektra von $A,B$ enthält. Weiter sei ${\mathrm{J}}_f:={\mathrm{J}}_f^{E,F}$ der Transformator und $I$ der Identitätsoperator. Es gilt nach dem Spektralsatz ${\mathrm{J}}_{\lambda }I=A$ und ${\mathrm{J}}_{\mu }I=B$ und ${\mathrm{J}}_{\mu -\lambda }I=\mathrm{T}$, daraus folgt

$f(B)-f(A)={\mathrm{J}}_{f(\mu )-f(\lambda )}I={\mathrm{J}}_{\frac{f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}{\mathrm{J}}_{\mu -\lambda }I={\mathrm{J}}_{\frac{f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\mathrm{T}={\mathrm{Q}}_{\phi }$

und somit

$f(B)-f(A)=\underset{\sigma (A)}{\int }\underset{\sigma (B)}{\int }\frac{f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }(\mu -\lambda )\mathrm{d}{E}_A(\lambda )\mathrm{d}{F}_B(\mu )=\underset{\sigma (A)}{\int }\underset{\sigma (B)}{\int }\frac{f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }\mathrm{d}{E}_A(\lambda )\mathrm{T}\mathrm{d}{F}_B(\mu ).$

Literatur

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