Universelle zentrale Erweiterung

In der Mathematik ist die universelle zentrale Erweiterung einer Gruppe ein Begriff aus der Gruppentheorie.

Definition

Eine zentrale Erweiterung einer Gruppe $G$ durch eine abelsche Gruppe $A$ besteht aus einer Gruppe $E$ und einem surjektiven Gruppenhomomorphismus $\varphi :E\to G$ mit Kern isomorph zu $A$. Ein Morphismus zwischen zwei zentralen Erweiterungen $\varphi :E\to G,{\varphi }^{\prime }:E^{\prime }\to G$ derselben Gruppe $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\psi :E\to E^{\prime }$ mit ${\varphi }^{\prime }\psi =\varphi$.

Eine zentrale Erweiterung

$\varphi :E\to G$

heißt universelle zentrale Erweiterung, wenn es für jede andere zentrale Erweiterung

${\varphi }^{\prime }:E^{\prime }\to G$

einen eindeutigen Morphismus zentraler Erweiterungen von $\varphi :E\to G$ nach ${\varphi }^{\prime }:E^{\prime }\to G$ gibt.

Existenz und Eindeutigkeit

Eine universelle zentrale Erweiterung ist bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, aber eine Gruppe $G$ hat nur dann eine universelle zentrale Erweiterung, wenn sie perfekt ist. In diesem Fall ist eine zentrale Erweiterung $\varphi :E\to G$ genau dann universell, wenn $E$ perfekt ist und alle zentralen Erweiterungen von $E$ trivial sind. Äquivalent ist eine zentrale Erweiterung einer perfekten Gruppe genau dann universell, wenn $H_1(E,\mathbb{Z})=0$ und $H_2(E,\mathbb{Z})=0$. Der Kern $A$ der universellen zentralen Erweiterung ist isomorph zu $H_2(G,\mathbb{Z})$.

Unter dem Isomorphismus $Ext(G,A)\simeq H^2(G,A)\simeq Hom(H_2(G,\mathbb{Z}),A)$ entspricht die universelle zentrale Erweiterung der Identität $H_2(G,\mathbb{Z})\to A$.

Für eine perfekte Gruppe mit Präsentierung $⟨F\mid R⟩$ konstruiert man die universelle zentrale Erweiterung als $E=[F,F]/[F,R]$.

Beispiele

• Für eine perfekte endliche Gruppe ist die Schur-Überlagerung die universelle zentrale Erweiterung. Der Kern ist der Schur-Multiplikator.
• $SU(2)$ ist die universelle zentrale Erweiterung von $SO(3)$. Der Kern ist isomorph zu $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
• Sei $R$ ein kommutativer Ring. Die Steinberg-Gruppe $St(R)$ ist die universelle zentrale Erweiterung der Kommutatorgruppe $[GL(R),GL(R)]$. Der Kern ist die algebraische K-Theorie $K_2(R)$.

Literatur

• J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994