Vaughans Identität

Vaughans Identität ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie für die Mangoldt-Funktion $\mathrm{\Lambda }(n)$. Die Identität wurde 1977 von Robert Charles Vaughan veröffentlicht.

Es existieren leicht verschiedene Formen der Identität, die aber allesamt gleichwertig sind. 1982 erschien eine Verallgemeinerung von Roger Heath-Brown.

Einführung

In vielen Problemstellungen der Zahlentheorie muss man Summen der Form

$\sum _n\mathrm{\Lambda }(n)f(n)$

abschätzen, wobei $\mathrm{\Lambda }(n)$ die Mangoldt-Funktion ist und $f(n)$ oft eine zahlentheoretische Funktion. Es gibt hierfür drei klassische Methoden

1. Winogradows Methode.
2. Null-Dichte-Methoden für Dirichletsche L-Funktionen $L(s,\chi )$ (Vorlage:EnS).
3. Vaughans Identität.

Winogradows Methode: Winogradow studierte trigonometrische Summen

$\sum _{p\le n,p\text{ prime}}e(\alpha p),\text{wobei }e(x):=\exp (2\pi ix)$

und fand dabei eine Methode diese abzuschätzen. Er bewies damit seinen Satz von Winogradow. Seine Methode lässt sich auch auf summatorische Funktionen mit der Mangoldt-Funktion übertragen, jedoch ist sie nicht-trivial und schwieriger als die anderen beiden Methoden.

Null-Dichte-Methoden: Die zweite Methode behandelt Schranken für die Null-Dichte, dies sind obere Schranken für die Funktion $N(\sigma ,T,\chi )$, welche die Anzahl der Nullstellen $s=\beta +i\gamma$ der Funktion $L(s,\chi )$ in der Region $\sigma \le \beta \le 1,|\gamma |\le T$ zählt. Solche Schranken wiederum können aus den Ungleichungen des großen Siebs hergeleitet werden.

Vaughans Identität

Seien $U,V\ge 1$ zwei positive Schranken und $n\in \mathbb{N}$, dann lässt sich die Mangoldt-Funktion in vier Funktionen aufteilen

$\mathrm{\Lambda }(n)={\lambda }_1(n)+{\lambda }_2(n)+{\lambda }_3(n)+{\lambda }_4(n)$

wobei

${\lambda }_1(n)=\mathrm{\Lambda }(n)1_{\{n\le U\}}(n)$

und

${\lambda }_2(n)=-\sum _{\stackrel{mdr=n}{m\le U,d\le V}}\mathrm{\Lambda }(m)\mu (d),{\lambda }_3(n)=\sum _{\stackrel{hd=n}{d\le V}}\mu (d)\log (h),{\lambda }_4(n)=-\sum _{\stackrel{mk=n}{m>U,k>1}}\mathrm{\Lambda }(m)\sum _{\stackrel{d\mid k}{d\le V}}\mu (d).$

$\mu (d)$ bezeichnet die Möbius-Funktion, welche für natürliche Zahlen definiert ist.

Erläuterungen

Man unterscheidet zwei Fälle, für den ersten Fall $n\le U$ ist nur ${\lambda }_1$ relevant

$1_{\{n\le U\}}(n)\mathrm{\Lambda }(n)={\lambda }_1(n).$

Man kann zeigen, dass in diesem Fall ${\lambda }_2(n)+{\lambda }_3(n)=0$ und offensichtlich auch ${\lambda }_4(n)=0$.

Im zweiten Fall $n>U$ sind hingegen nur die drei Summen relevant

$1_{\{n>U\}}(n)\mathrm{\Lambda }(n)={\lambda }_2(n)+{\lambda }_3(n)+{\lambda }_4(n).$

Herleitung

Wir führen folgende Hilfsfunktionen ein

$F(s):=\sum _{n\le U}\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s},G(s):=\sum _{d\le V}\mu (n)n^{-s}.$

Die Dirichletreihe mit der Mangoldt-Funktion lässt sich mit der logarithmischen Ableitung des Euler-Produkts als Zeta-Funktion schreiben

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s}=-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}.$

Die rechte Seite formt man nun mit Hilfe von $F$ und $G$ etwas um (durch ausmultiplizieren sieht man, dass beide Seiten äquivalent sind)

$\begin{array}{cc}-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}& =F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-{\zeta }^{\prime }(s)G(s)+(-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}-F(s))(1-\zeta (s)G(s))\\ & =D_1(s)-D_2(s)-D_3(s)+D_4(s).\end{array}$

Jedes der $D_j(s)$ kann als Dirichlet-Reihe dargestellt werden und somit

$\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s}=({\lambda }_1(n)+{\lambda }_2(n)+{\lambda }_3(n)+{\lambda }_4(n))n^{-s},$

wobei ${\lambda }_j(n)$ der Koeffizient von $n^{-s}$ in $D_j(n)$ ist.

Als Nächstes schreiben wir die Mangoldt-Funktion um

$\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{r\mid n}\mu \left(r\right)\log \left(\frac{n}{r}\right)=\sum _{hd=n}\mu \left(h\right)\log (d),$

wobei sich die rechte Seite daraus erklärt, dass wir über alle Kombinationen der Form $hd=n$ summieren (da $h,d\in \mathbb{N}$ summiert man über alle Teiler) und $\frac{n}{h}=d$. Teilen wir diese Summe in $h\le V$ und $h>V$ auf, so ist ersteres ${\lambda }_3(n)$. Die Summe mit $h>V$ schreiben wir um, indem wir den Logarithmus als summatorische Mangoldt-Funktion darstellen, und dann bringen wir sie durch ein kombinatorisches Argument auf die Menge $h\le V$ mit einem Vorzeichenwechsel

$\sum _{\stackrel{hd=n}{h>V}}\mu \left(h\right)\log (d)=\sum _{\stackrel{hd=n}{h>V}}\mu (h)\sum _{r\mid d}\mathrm{\Lambda }(r)=-\sum _{m\mid n}\mathrm{\Lambda }(m)\sum _{\stackrel{d\mid \frac{n}{m}}{d\le V}}\mu (d).$

Die rechte Seite lässt sich dann nochmals umschreiben und in $m\ge U$ und $m<U$ aufteilen, dann erhält man ${\lambda }_2$ und ${\lambda }_4$.

Heath-Browns Identität

Definiere für $V\ge 1$ die Hilfsfunktion

$M(s)=\sum _{n\le V}\mu (n)n^{-s}.$

Für $k\in \mathbb{N}$ gilt

$\frac{1}{\zeta (s)}{\zeta }^{\prime }(s)=(\sum _{j=1}^k(-1{)}^{j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\zeta (s{)}^{j-1}M(s{)}^j+\frac{1}{\zeta (s)}(1-\zeta (s)M(s){)}^k){\zeta }^{\prime }(s).$